Integratie van rationale functies

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 18

Integratie van rationale functies

Beschouw
\(\int f(x)dx\)
met
\(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0}{x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_0}\)
Geval 1:
\(n\geq m\)
Deel p(x) door q(x).

Dit geeft
\(\frac{p(x)}{q(x)}=x^{n-m}+c_1x^{n-m-1}+...+c_{n-m}+\frac{d_{m-1}x^{m-1}+...+d_0}{q(x)}\)
(Deze stap volg ik niet, hoe kom je aan deze termen?)

en bijgevolg
\(\intf(x)dx=\frac{x^{n-m+1}}{n-m+1}+...+c_{n-m}x+\int\frac{p*(x)}{q(x)}dx\)
waarin p*(x) een veelterm is van graad
\( \leq m-1\)
. We hoeven dus nog een integraal te berekenen van een rationale functie waarvan de graad van de teller kleiner is dan de graad van de noemer. Dit wordt als geval 2 behandeld.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integratie van rationale functies

Croughs Jorma schreef:Dit geeft
\(\frac{p(x)}{q(x)}=x^{n-m}+c_1x^{n-m-1}+...+c_{n-m}+\frac{d_{m-1}x^{m-1}+...+d_0}{q(x)}\)
(Deze stap volg ik niet, hoe kom je aan deze termen?)
Je moet de deling uitvoeren (staartdeling, euclidische deling, hoe je het ook noemt). Zie bijvoorbeeld hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 18

Re: Integratie van rationale functies

Ok, gecontroleerd.

Dan heb je ook nog

Geval 2: n<m

a) Splitsing in partieelbreuken. Stel dat de noemer r lineaire factoren heeft
\((x-c_1),(x-c_2),...,(x-c_r)\)
met meervoudigheid respectievelijk
\(\mu_1,\mu_2,...,\mu_r\)
en s kwadratische factoren
\((x^2+d_1x+e_1),...,(x^2+d_sx+e_s)\)
met meervoudigheden resp.
\(v_1,v_2,...,v_s\)
. Dus
\(q(x)=\prod_{i=1}^r(x-c_i)^{\mu_i}\prod_{i=1}^s(x^2+d_ix+e_i)^{v_i}\)
. Er wordt in de algebra bewezen dat er constanten
\(A_{ij},B_{ij},C_{ij}\)
bestaan zodanig dat
\(\frac{p(x)}{q(x)}=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^{\mu_i}\frac{A_{i,j}}{(x-c_i)^j}+\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^{v_i}\frac{B_{ij}x+C_{ij}}{(x^2+d_ix+e_i)^j}\)
Kent iemand dit bewijs of weet iemand waar ik dit kan vinden?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integratie van rationale functies

Kent iemand dit bewijs of weet iemand waar ik dit kan vinden?
Zie hier, of je zoekt het bewijs in een cursus of boek over analyse, integraalrekening, calculus, ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 18

Re: Integratie van rationale functies

\(\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2}(\frac{x}{(x^2+1)}+bgtanx)\)


Ik begrijp dit niet/kom het niet uit als ik het nareken. Kan iemand helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integratie van rationale functies

Stel x = tan(t).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer