Springen naar inhoud

[wiskunde] lineaire algebra: kern en beeld


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2009 - 11:22

Ik ben hier even mee bezig: http://wwwir.vub.ac....I-alg-jan07.pdf

Bij vraag 1b wordt gevraagd naar de kern en het beeld van die afbeelding en hun basissen en dimensies.

Ik dacht het volgende:

Ker(f):
Re(z) = 0 en Im(z) = 0, dus z=0
Re(w-z) = 0, dus w = 0 + ki met k een reŽel getal.

Ik ben niet zeker van mijn notatie, maar ik zou dan zeggen dat dit een basis is:
{ {(0,0),(0,0)} , {(0,0),(0,i)}}
De dimensie zou dan 1 moeten zijn

Im(f):
Im(f) = {f(w,z)| (w,z) in C^2}

Basis: LaTeX

Zodat dim(Im(f)) = 3

Kan iemand dit verifiŽren/corrigeren?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2009 - 11:43

Ik ben niet zeker van mijn notatie, maar ik zou dan zeggen dat dit een basis is:
{ {(0,0),(0,0)} , {(0,0),(0,i)}}
De dimensie zou dan 1 moeten zijn

Dit is wat vreemd, in een basis mag niet meer dan nodig zitten (lineaire onafhankelijkheid!).
Je moet een basis geven voor :D≤, dus voor koppels (z,w) met z,w complex. Voor heel :P≤:

{(z,w)|z,w in :D} of {(a+bi,c+di)|a,b,c,d in :P} (of in koppelnotatie: {((a,b),(c,d))|a,b,c,d in :D})

Ga uit van een van die laatste twee vormen (want je moet een onderscheid kunnen maken tussen reŽel en imaginair deel voor je kern hier), wat wordt dan een basis voor Ker(f)?

Verder kloppen de dimensies. Ga na dat met z=a+bi en w=c+di, Im(f) er zo uit ziet:

LaTeX

Want wat je nu noteert is wel wat weinig om de dimensie daaruit te concluderen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2009 - 11:54

Bedankt voor je antwoord:

@Kern: is dit dan wel een goeie basis? {(0 + 0i , 0 + ki) | k in :D} (De nullen om aan te tonen dat het zeker complex is.)

@Baan: ik had die stap vluchtig gemaakt en geconcludeerd dat in de rechter bovendriehoek eender wat kan staan, maar dat linksonder altijd een 0 staat.

Als ik de dimensies optel kom ik ook mooi op die van :D≤ dus dat leek me wel in orde.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2009 - 11:57

@Kern: is dit dan wel een goeie basis? {(0 + 0i , 0 + ki) | k in :P} (De nullen om aan te tonen dat het zeker complex is.)

Ja, of gewoon {(0,k)|k in :D} of {((0,0),(0,k))|k in :P} als je de koppelnotatie voor complexe getallen gebruikt.

@Baan: ik had die stap vluchtig gemaakt en geconcludeerd dat in de rechter bovendriehoek eender wat kan staan, maar dat linksonder altijd een 0 staat.

Als ik de dimensies optel kom ik ook mooi op die van :D≤ dus dat leek me wel in orde.

Het is niet "triviaal" dat er eender wat kan staan. Als de elementen a, b en a+b waren geweest, had je ook drie niet-nulle elementen maar wel slechts dimensie 2. Je zou de dimensiestelling achteraf als controle moeten hebben, anders krijg je ook niet de volle punten voor dat deel denk ik :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2009 - 12:15

Zou je misschien in dit topic ook nog een hint kunnen geven voor vraag 2b en 2c van dat zelfde examen? Desnoods met iets meer uitleg in spoiler-tags?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2009 - 12:31

Heb je a gevonden? Dat zou inspiratie voor b moeten geven...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2009 - 12:45

Heb je a gevonden? Dat zou inspiratie voor b moeten geven...



Wel 'gevonden', dat is toch gewoon diezelfde matrix met op de diagonaal de vierkantswortels van de elementen ipv de elementen zelf?

Kan je dan voor het b deel stellen dat je een basis hebt gevonden waarvoor de matrix diagonaliseerbaar is en dan van die diagonaalmatrix de S nemen waarvoor geldt dat S^2 die diagonaalmatrix is en dan een basisovergang toepassen op die gevonden S?

En dan kan je uiteraard c oplossen met de methode die je in b moet aantonen.

Veranderd door Xenion, 05 januari 2009 - 12:47


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2009 - 12:51

Wel 'gevonden', dat is toch gewoon diezelfde matrix met op de diagonaal de vierkantswortels van de elementen ipv de elementen zelf?

Juist.

Kan je dan voor het b deel stellen dat je een basis hebt gevonden waarvoor de matrix diagonaliseerbaar is en dan van die diagonaalmatrix de S nemen waarvoor geldt dat S^2 die diagonaalmatrix is en dan een basisovergang toepassen op die gevonden S?

Je weet dat A diagonaliseerbaar, dus A = PDP-1, waarbij D precies van de vorm is zoals beschreven in deel a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2009 - 12:56

Juist.


Je weet dat A diagonaliseerbaar, dus A = PDP-1, waarbij D precies van de vorm is zoals beschreven in deel a.


IntuÔtief zie ik meestal wel iets, maar omdat dan wiskundig te bewijzen lukt niet altijd.

Ik heb c even snel uitgewerkt met Derive en ik kom inderdaad een matrix uit waarvan het kwadraat de gegeven matrix is. Ik blokkeer soms op matrices, altijd die producten uitwerken en inverse zoeken...

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2009 - 13:02

Daarna is het nog omzetten in de taal wiskunde. Even opschrijven, we hadden dus A = PDP-1 met D een diagonaalmatrix met enkel positieve eigenwaarden. Er bestaat dan een E zodat E≤ = D (zie deel a). Bekijk dan de matrix B = PEP-1, zodat B≤ = PE≤P-1 = PDP-1 = A.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures