[wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 05-01-'09, 21:04

Jeffreih

Berichten: 27

[wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Hallo,

In mijn wiskundeboek werden twee driehoeken gebruikt om een aantal exacte waarden van de sinus en de cosinus aan te tonen.

Deze twee werden gebruikt:

Afbeelding

Met daarin:

AB = BC = 1

Volgens Pythagoras:
\(AC = \sqrt{2} \)
Omdat AB en BC even lang zijn en
\(\beta = 90°\)
geldt dat
\(\alpha = \gamma = 45°\)
Hieruit:
\(\sin{45°} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}*\sqrt{2}\)
Deze driehoek, en daarbij de sinus/tangens/cosinus, snap ik.

De andere driehoek die gebruikt werd is deze:

Afbeelding

Met:
\(\alpha = 30°\)
\(\gamma = 60°\)
Stel dat ik deze hoeken niet wist, hoe zou ik ze dan algebraïsch uit kunnen rekenen?
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 21:08

lucilius

Berichten: 254

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

met de sinusregel kan je die andere hoeken berekenen, maar ken je die regel?

Of wel met de cosinusregel.

Maar ken je die regels?

Zo niet dan heeft het weinig zin dat ik daar iets over zeg.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 21:12

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Je kan hier gewoon de standaardregeltjes van sinus, cosinus en tangens gebruiken en zo zorgen dat je uitkomt op een waarde waarvan je dan weet van welke hoek die is.

Ezelsbruggetje: sos, cas, toa.

Sinus = overstaande rechtshoekszijde / schuine zijde

Cosinus = aanliggende rechtshoekszijde / schuine zijde

Tangens = overstaande rechtshoekszijde / aanliggende rechtshoekszijde

sinus -en cosinusregel zijn hier niet nodig, gwn puur de basics.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 21:16

Jeffreih

Berichten: 27

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

En daar loopt het juist vast met het algebraïsche gedeelte
\(\sin{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\alpha=\arcsin\frac{1}{2}\)


Via de G.R. kom ik dan op alfa = 30°, maar hoe kan dit algebraïsch?
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 21:18

lucilius

Berichten: 254

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Xenion schreef:Je kan hier gewoon de standaardregeltjes van sinus, cosinus en tangens gebruiken en zo zorgen dat je uitkomt op een waarde waarvan je dan weet van welke hoek die is.

Ezelsbruggetje: sos, cas, toa.

Sinus = overstaande rechtshoekszijde / schuine zijde

Cosinus = aanliggende rechtshoekszijde / schuine zijde

Tangens = overstaande rechtshoekszijde / aanliggende rechtshoekszijde

sinus -en cosinusregel zijn hier niet nodig, gwn puur de basics.
jouw "ezelbruggetjes" of truckes zijn niets anders dan dan wat ik zei...

(sinus90=....)

(ik ben ook geen voorstander van truckjes of dergelijke, die vergeet je nogal snel, een systeem niet of minder snel)
Jeffreih schreef:En daar loopt het juist vast met het algebraïsche gedeelte
\(\sin{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\alpha=\arcsin\frac{1}{2}\)
Via de G.R. kom ik dan op alfa = 30°, maar hoe kan dit algebraïsch?
je hebt dan toch je hoek?

ik begrijp niet goed wat je bedoelt met het "algebraïsch" op te lossen.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 21:22

Jeffreih

Berichten: 27

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Laat ik het zo stellen:

Hoe heeft men vroeger weten te bepalen dat
\(\arcsin\frac{1}{2}=30°\)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 21:26

lucilius

Berichten: 254

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Jeffreih schreef:Laat ik het zo stellen:

Hoe heeft men vroeger weten te bepalen dat
\(\arcsin\frac{1}{2}=30°\)
info

bekijk deze link eens, hier staan handige dingen in.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 21:38

Jeffreih

Berichten: 27

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

lucilius schreef:info

bekijk deze link eens, hier staan handige dingen in.
Dat is inderdaad dit plaatje:

Afbeelding

Waarin;
\(P(\cos{30°},\sin{30°})\)
\(P(\frac{\sqrt{3}}{2}},\frac{1}{2})\)


Stel ik zou dat plaatje hebben maar geen G.R.. Het enige dat ik weet is dat lengte S = 1 en dat alfa=30°. Hoe kan ik met die gegevens dan de lengte van A of O berekenen? (Mijn eerste vraag eigenlijk, maar dan andersom)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 22:17

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

lucilius schreef:jouw "ezelbruggetjes" of truckes zijn niets anders dan dan wat ik zei...

(sinus90=....)

(ik ben ook geen voorstander van truckjes of dergelijke, die vergeet je nogal snel, een systeem niet of minder snel)


Dat is de manier waarop je normaal sin, cos en tan als eerste aanleert toch (in rechthoekige driehoek)?
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 22:39

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Jeffreih schreef:Hallo,

In mijn wiskundeboek werden twee driehoeken gebruikt om een aantal exacte waarden van de sinus en de cosinus aan te tonen.

Deze twee werden gebruikt:

Afbeelding

Met daarin:

AB = BC = 1

Volgens Pythagoras:
\(AC = \sqrt{2} \)
Omdat AB en BC even lang zijn en
\(\beta = 90°\)
geldt dat
\(\alpha = \gamma = 45°\)
Hieruit:
\(\sin{45°} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}*\sqrt{2}\)
Deze driehoek, en daarbij de sinus/tangens/cosinus, snap ik.

De andere driehoek die gebruikt werd is deze:

Afbeelding

Met:
\(\alpha = 30°\)
\(\gamma = 60°\)
Stel dat ik deze hoeken niet wist, hoe zou ik ze dan algebraïsch uit kunnen rekenen?
Je moet de drh ABC spiegelen in AB. Wat is drh ACC' dan voor drh (C' is beeld van C bij deze spiegeling).
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 22:46

Jeffreih

Berichten: 27

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

ACC' is een gelijkzijdige driehoek. Hieruit volgt dan weer dat
\(\gamma=60°\)
, en dus
\(2\alpha=60°\rightarrow\alpha=30°\)
Dankje Safe, hoewel ik er zelf nooit op zou zijn gekomen :D

Is er trouwens een exacte manier om de sinus/cosinus van willekeurige hoeken uit te rekenen?
Omhoog

Bericht 06-01-'09, 10:07

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Niet voor een willekeurige hoek maar misschien kan je nu wel (bv) sin(15) exact bepalen, je hebt dan een bekende formule nodig.

Wat moeilijker is sin(36).
Omhoog

Bericht 06-01-'09, 11:34

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Jeffreih schreef:...

Is er trouwens een exacte manier om de sinus/cosinus van willekeurige hoeken uit te rekenen?


Ja, je kan die functies benaderen door een veelterm, maar dat behoort niet tot je leerstof en je zou het alleen maar verwarrend vinden denk ik. Maar zo zijn rekenmachines geprogrammeerd.
Omhoog

Bericht 06-01-'09, 12:39

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Is er trouwens een exacte manier om de sinus/cosinus van willekeurige hoeken uit te rekenen?
Ja, je kan die functies benaderen door een veelterm, maar dat behoort niet tot je leerstof en je zou het alleen maar verwarrend vinden denk ik. Maar zo zijn rekenmachines geprogrammeerd.
Vind je dit een antwoord op zijn vraag?

Of is dit alleen maar informatie.
Omhoog

Bericht 06-01-'09, 13:16

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] goniometrie: hoek bepalen

Safe schreef:Vind je dit een antwoord op zijn vraag?

Of is dit alleen maar informatie.
De vraag is 'Is er een manier?', het antwoord is 'Ja, maar dat is nog te moeilijk voor je.'

Ik vind het antwoord wel passend. Mijn vroegere leraar wiskunde probeerde ons dat in het middelbaar uit te leggen puur informatief (hoorde niet tot de leerstof) en ik weet nog dat ik dat zelf vrij ingewikkeld vond. (Vind zelfs, want ik vind dat die stelling een smerig bewijs heeft en ik moet het kennen :D )

Om mijn antwoord dan iets vollediger te maken:

Je kan sin(x) schrijven als
\(x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} + ......\)
Als je dan een x (een hoek dus) invult in die nieuwe formule krijg je de waarde van sin(x), maar die formule is maar beperkt nauwkeurig, vanaf een zekere x klopt de formule niet meer.

Je kan de grafiek van die functie plotten en dan zie je dat ze voor een deel rond de oosprong perfect klopt met de sinus functie. (zie http://en.wikipedia.org/wiki/File:Taylorsine.svg voor een afbeelding)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”