Springen naar inhoud

Differentiaalvgl van de eerste orde (met constante coŽfficient)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jonas77

    Jonas77


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2009 - 23:10

Hallo iedereen

Ik zit met een klein probleempje, maar kzie niet direct het verschil in.

Het gaat over Lineaire differentiaal vergelijking van de 1ste orde EN Lineaire differentiaal vergelijking van de 1ste orde met constante coŽfficient....?
Wat is het verschil?
Ik zie maar 1 verschil en dat is da er voor de y gewoon een getal staat bij lineaire diff.vgl van de 1ste orde met constante coŽfficient en bij Lineaire differentiaal vergelijking van de 1ste orde staat daar een functie van x. Zijn er nog verschillen?

In de les hebben wij 2 verschillende oplossingsmethoden gezien, namelijk

1) Lineaire differentiaal vergelijking van de 1ste orde: y' + f(x).y = g(x)

Oplossingsmethode bestaat uit 3 stappen:
Stap 1: Homogene diff. vgl oplossen: y' + f(x).y =0
Dit dmv de methode van scheiding van variabelen, y' omzetten in dy/dx en dan zo uitwerken met de integraal.
Dan kom je dus een functie uit met een constante in.

Vb.: y'- (y/x) = x^3

y' -(y/x) = 0
<=> dy/y = dx/x
<=> ln y = ln x +c
<=> y = c.x

Stap 2: Deze constante uit de functie veranderen naar een functie u(x) en bereken deze u(x) zodat deze uitdrukking een oplossing is van de diff. vgl y' + f(x).y = g(x)
Bv.:
y= u.x
<=> y' = u'.x + u en y'- (y/x) = x^3 en y = ux
<=> u'x = x^3
<=> u = x^3/3 + C

Stap 3: de oplossing

y= (x^3/3 + C).x

2) Lineaire differentiaal vergelijking van de 1ste orde met constante coŽfficiŽnt: a.y' + b.y = g(x)

Stap 1: Homogene vgl oplossen

vb.: y' +3y = x+1

y' + 3y=0 k+3=0 <=> k= -3 (hoe komen ze hier aan???)

y=c.e^(-3x) dit doen we via een vast formaat: y= c. e^[(-b/a)x]



Stap 2: Particuliere oplossing

y= Ax + B => y' = A

A + (Ax + B) = x +1

Dit uitwerken dmv een stelsel met 2 vgl => A= 1/3 en B= 2/9

Y= (1/3)x + 2/9


Stap 3: Oplossing = Homogene oplossing + particuliere oplossing


y= c.e^(-3x) + (1/3)x + 2/9



Kan er iemand het verschil uitleggen? En hoe weet ik welke methode ik moet gebruiken? Want bij het eerste staat het homogene deel niet in de oplossing, en bij dat 2de wel...

Mvg

Jonas

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2009 - 23:17

Het verschil heb je zelf al goed begrepen. Het "lineair" zijn slaat op de functie y, die mag dus niet tot een hogere macht voorkomen (zoals y≤ of y≥) en ook de afgeleide niet (dus wel y', maar niet y'≤ of y.y'). De coŽfficiŽnten van deze y en y' mogen willekeurige functies van x zijn.
In het bijzonder geval dat die coŽfficiŽnten constant zijn, kom je in dat tweede geval. Dan is het mogelijk om de oplossing te schrijven als som van de homogene oplossing en een particuliere oplossing, zoals je ook doet in je voorbeeld. De meer algemene methode (die je dus in het eerste geval moet gebruiken) is "variatie van de constante", door de constante inderdaad functie van x te maken (enzovoort).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Jonas77

    Jonas77


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2009 - 00:13

Ok, bedankt

Ik kan bijvoorbeeld ook een diff. vgl van het 2 de type (met constante coŽfficient) oplossen volgens de methode van het eerste type? Dat lijkt te lukken...

Ik mag dus kiezen welke methode ik gebruik, alleen als ik de 2de gebruik, mag ik niet vergeten om zowel de particuliere als het homogene deel te nemen.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2009 - 00:16

Ja, maar in het tweede geval is het doorgaans veel eenvoudiger te doen zonder variatie van de constante. Je doet dan zelf een voorstel voor de particuliere oplossing (van de vorm van je inhomogeen deel, maar dan zo algemeen mogelijk) en dat is sneller.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures