Ik neem aan dat we met reëelwaardige functies te maken hebben. (Anders wat vertikale strepen zetten).
Stel
\(||Af||_2 = ||f||_2\)
voor zekere
\(f \ne 0\)
b.o..
Dan is
\(\int_0^1 x^4f^2(x)\ dx = \int_0^1 f^2(x)\ dx\)
en dus
\(\int_0^1 (1-x^4)f^2(x)\ dx = 0\)
.
Merk op dat de integrand nooit negatief is, dus de integrand is 0 en dus
\(f=0\)
b.o.
Tegenspraak!!!
Ik heb eerder aangetoond dat
\(\sup\{\frac{||Af||_2}{||f||_2}\} = 1\)
Dus
\(||A|| = 1\)
Definitie:
\(||A|| = \sup_{f\ne0 b.o.}\{\frac{||Af||_2}{||f||_2}\}\)
