[lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

struikje

Hallo, Ik heb dus problemen om dit soort vraagstukken op te lossen. De kern kan ik meestal vinden, maar ik heb geen idee hoe ik de definitie van beeldruimte kan gebruiken om ze te vinden. Ik ga twee voorbeelden van oefeningen geven waar ik problemen heb.

1.Toon aan dat de transformatie van R³ gedefinieerd door T(x,y,z) = (x+2y , y - z , x+2z ) lineair is.

Bepaal de kern en het beeld van T (+ basis en dimensie van kern en beeld).

Ik heb dus aangetoond dat het een lin. afb. is, kern gevonden, zelfs dimensie en basis voor kern gevonden, maar ik heb dus geen idee hoe te beginnen aan het beeld van T.

2.Beschouw de lineaire transformatie T van R³ waarvoor T(e1) = e1 -e2 , T(e2)= e2-e1 en T(e3)= 2 e3 waarbij {e1,e2,e3} de natuurlijke basis is van R³.

Bepaal Kern T (+ basis en dimensie), Im T (+ basis en dimensie), eigenwaarden en eigenruimten van T.

Hier weet ik zelfs niet hoe te beginnen aan de kern. Ik heb wel al de matrix opgesteld die T afbeeld ten opzichte van de natuurlijke basis van R³. Die is:

1 -1 0

-1 1 0

0 0 2

Die eigenwaarden en eigenruimten van T zal ik direct proberen bereken met deze matrix.

EDIT:

Ben ik correct als ik zeg dat de eigenwaarden te bereken zijn door det( T - Lambda * I(3) ) = 0 op te lossen?

mvg

TD

struikje schreef:1.Toon aan dat de transformatie van R³ gedefinieerd door T(x,y,z) = (x+2y , y - z , x+2z ) lineair is.

Bepaal de kern en het beeld van T (+ basis en dimensie van kern en beeld).

Ik heb dus aangetoond dat het een lin. afb. is, kern gevonden, zelfs dimensie en basis voor kern gevonden, maar ik heb dus geen idee hoe te beginnen aan het beeld van T.

Het beeld van (x,y,z) onder T is (x+2y,y - z,x+2z) dus je zou kunnen zeggen:

\({\mathop{\rm Im}\nolimits} f = \left\{ {\left( {x + 2y,y - z,x + 2z} \right)\left| {x,y,z} \in \rr \right.} \right\}\)

Het probleem is dat je hieraan nog niet ziet of er onderling afhankelijkheden zijn, je kan hier de dimensie dus ook niet uit aflezen. Schrijf de vector als x.(1,0,1)+y.(2,1,0)+z.(0,-1,2) en je ziet dat {(1,0,1)+(2,1,0)+(0,-1,2)} een voortbrengend stel is. Als het ook lineair onafhankelijk is, heb je direct een basis en de dimensie, maar het is een afhankelijk stel (ga zelf na). Noem deze beeldvector (a,b,c), dan is:

\(\left\{ \begin{array}{l} a = x + 2y \\ b = y - z \\ c = x + 2z \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - c = 2\left( {y - z} \right) = 2b \\ b = y - z \\ c = x + 2z \\ \end{array} \right.\)

Je ziet dus direct dat, bijvoorbeeld, c = a-2b. Het beeld is dus van de vorm (a,b,a-2b); dus:

\({\mathop{\rm Im}\nolimits} f = \left\{ {\left( {a,b,a - 2b} \right)\left| {a,b} \in \rr \right.} \right\}\)

Een basis kan zijn {(1,0,1),(0,1,-2)} en de dimensie is dus 2.

TD

struikje schreef:2.Beschouw de lineaire transformatie T van R³ waarvoor T(e1) = e1 -e2 , T(e2)= e2-e1 en T(e3)= 2 e3 waarbij {e1,e2,e3} de natuurlijke basis is van R³.

Bepaal Kern T (+ basis en dimensie), Im T (+ basis en dimensie), eigenwaarden en eigenruimten van T.

Hier weet ik zelfs niet hoe te beginnen aan de kern. Ik heb wel al de matrix opgesteld die T afbeeld ten opzichte van de natuurlijke basis van R³. Die is:

1 -1 0

-1 1 0

0 0 2

Noem deze matrix A. Dan zoek je vectoren v = (x,y,z) zodat Av = 0 met rechts de nulvector (0,0,0).

Dit lineair stelsel (even uitschrijven in componenten) kan je vervolgens oplossen (naar x,y,z), toch?

Ben ik correct als ik zeg dat de eigenwaarden te bereken zijn door det( T - Lambda * I(3) ) = 0 op te lossen?

Inderdaad, dus lambda van de hoofddiagonaal aftrekken, determinant gelijk aan 0 stellen en oplossen naar lambda.

struikje

Danku voor het snelle antwoord. Ik ga direct zelf proberen andere oefeningen te maken. Ik hoop dat er hiervoor toch geen problemen meer komen

TD

Graag gedaan. Als je nog problemen tegenkomt, kan je hier altijd om hulp vragen. Succes!

philip

Kan iemand mij uitleggen hoe je de kern (basis en dimensie) vindt van die eerste oefening...

TD

Zoek alle vectoren die op de nulvector worden afgebeeld, dat levert je een stelsel.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

[lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

Re: [lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

Re: [lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

Re: [lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

Re: [lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

Re: [lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen

Re: [lineaire algebra] kern- en deelruimte van een lineaire afbeelding bepalen