Dit komt eigenlijk uit mijn cursus digitale signaalverwerking maar ik denk dat het een wiskunde-topic is.
Een introductie:
Ok, daar kan ik allemaal in volgen, maar:"cursus Digitale Signaalverwerking" schreef:We definiëren het begrip norm:
\(l^{p}norm=\|\{x(k)\}\|_{p}=\left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{|x(n)|^{p}}\right)^{\frac{1}{p}\)We kunnen aan de hand van de norm ruimtes definiëren:
De ruimte\( l^{1}\): deze bevat reeksen {x} die absoluut optelbaar zijn:
\(\|\{x(k)\}\|_{1} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{|x(n)|}<\infty\)De ruimte\( l^{2}\): deze bevat reeksen {x} die kwadratisch optelbaar zijn:
\(\|\{x(k)\}\|_{2} = \left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{|x(n)|^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}<\infty\)Veronderstel dat {x} een signaal is uit de\( l^{1}\)ruimte dan geldt
\(\left(\|\{x\}\|_{1}\right)^{2} = \left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{|x(k)|}\right)^{2}\geq\ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}{|x(k)|^{2}} = \left(\|\{x\}\|_{2}\right)^{2}\)Dus:
\(\|\{x\}\|_{2} \leq \|\{x\}\|_{1} \)Dit betekent dat als\(\{x\}\in l^{1}\)dan\(\{x\}\in l^{2}\), of m.a.w.\(l^{1}\subset l^{2}\).
Bestaat er een functie/reeks/signaal die wel tot de
\( l^{2}\)
ruimte behoord, maar niet tot de \( l^{1}\)
ruimte? Een functie, reeks of signaal dus, waarbij je oneindig uitkomt als je de absolute waarde van alle waarden ervan optelt, maar waarbij je een reële uitkomst hebt als je de kwadraten van alle waarden optelt en er daarna de wortel van neemt.Gewoon logisch denkend kan ik me dat echt niet voorstellen dat zoiets bestaat.
