Formule van poisson

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 07-01-'09, 16:54

eXorikos

Berichten: 134

Formule van poisson

De oplossing van het probleem van Laplace in {
\((x,y)| y \geq 0 \)
} wordt gegeven door de formule van Poisson voor een halfvlak
\(u(x,y) = \frac{1}{\pi} \int_{- \infty}^{\infty} dx' \Phi (x') \frac{y}{y^{2}+(x-x')^{2}} , y > 0\)
Wat is nu de fysische betekenis van die
\(\frac{y}{y^{2}+(x-x')^{2}} \)
?
Omhoog

Bericht 07-01-'09, 20:00

eXorikos

Berichten: 134

Re: Formule van poisson

Het probleem hier is dus een oplossing
\(u\)
vindenop de sluiting
\(\bar{\mathcal{D}}\)
van
\(\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^{2}\)
die:

2 maal differentieerbaar is in
\(\mathcal{D}\)
en continu in
\(\bar{\mathcal{D}}\)

\(\Delta u = 0\)
in
\(\mathcal{D}\)
en
\(u = \Phi\)
op
\(\partial_\mathcal{D}\)
de rand van
\(\mathcal{D}\)
Omhoog

Bericht 07-01-'09, 22:45

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Formule van poisson

Hint: denk aan het voortplanten van geluid in 3D.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 09-01-'09, 18:18

jan_alleman

Berichten: 394

Re: Formule van poisson

eXorikos schreef:De oplossing van het probleem van Laplace in {
\((x,y)| y \geq 0 \)
} wordt gegeven door de formule van Poisson voor een halfvlak
\(u(x,y) = \frac{1}{\pi} \int_{- \infty}^{\infty} dx' \Phi (x') \frac{y}{y^{2}+(x-x')^{2}} , y > 0\)
Wat is nu de fysische betekenis van die
\(\frac{y}{y^{2}+(x-x')^{2}} \)
?
Hoe kom je aan die oplossing, in mijn cursus is het afgeleid voor een schijf en als opgave staat om het af te leiden voor een halfvlak. Maar ik weet niet hoe te beginnen.
Omhoog

Bericht 09-01-'09, 18:53

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Formule van poisson

De afleiding vind je in sommige boeken over complexe analyse.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 10-01-'09, 00:47

eXorikos

Berichten: 134

Re: Formule van poisson

Ik heb die oplossing gevonden in verschillende boeken over partiële differentiaalvergelijkingen en ook in boeken over complexe analyse. Hoe de afleiding juist gaat heb ik ook gezocht en niet gevonden... Een goed begin zou zijn om de formule van een cirkel te gebruiken en dan de limiet te nemen voor R ->
\(\infty\)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”