Springen naar inhoud

[wiskunde] stelling van green


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2009 - 10:41

Dag allemaal, allereerst een gelukkig nieuwjaar toegewenst!
Mijn opdracht is:
Verifieer de stelling van Green voor het schijfje begrensd door de cirkel x^2+y^2 =R^2 en de functies P(x,y)=xy^2 en Q(x,y)=-yx^2.

Stelling van Green
LaTeX

Nu wilde ik ze allebei apart berekenen en laten zien dat ze hetzelfde zijn.
Voor de linkerintegraal heb ik de parametrisatie:
LaTeX

De grenzen zijn dan 0 en 2pi

Ingevuld volgt dan:
LaTeX (tussen dt en R^4 hoort een - maar latex toont die niet

Met mathematica is de primitieve:
LaTeX
Dit levert met de grenzen 0 en 2pi: 0

En nu wil ik dan de andere uitrekenen

LaTeX

Ten eerste is dQ/dx = -2xy
en is dP/dy = 2xy
Dat levert de volgende integraal:
LaTeX

Maar hoe nu verder, wat moet ik als grenzen invullen?
Is het handig om nu weer dezelfde parametrisatie te gebruiken en dan dA te vervangen door r dr dt ?
Is de uitwerking van de eerste integraal overigens correct gedaan?

Alvast bedankt voor jullie tijd!

Veranderd door Amon, 08 januari 2009 - 10:44


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 januari 2009 - 10:43

Schrijf je grenzen in functie van die oppervlakte.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#3

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2009 - 10:50

Ik snap niet wat je daar mee bedoelt. Als ik dA zou vervangen door dy dx, zou ik dan als grenzen in kunnen vullen: -r en r (voor x) en -sqrt(r²-x²) en sqrt (r²-x²) (voor y)?

#4

da_doc

    da_doc


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2009 - 10:57

Hoef je niet uit te rekenen: het volgt uit de symmetrie dat de integraal nul is: gewoon de schijf in de vier kwadranten splitsen. In het 1e en 3e kwadrant is xy positief, in het 2e en 4e negatief. Klaar.

#5

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 januari 2009 - 10:57

A is het oppervlakte van de cirkel; dus moet je de dubbele integraal met de grenzen voor die cirkel opstellen. Intuïtief kan je direct het antwoord weten.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 januari 2009 - 11:30

Maar hoe nu verder, wat moet ik als grenzen invullen?
Is het handig om nu weer dezelfde parametrisatie te gebruiken en dan dA te vervangen door r dr dt ?

Dat is handig ja: als je de integraal echt wil uitrekenen, is het weer eenvoudig in poolcoördinaten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures