Springen naar inhoud

[wiskunde] problemen met het concept span


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Meaglor

    Meaglor


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2009 - 15:41

Gegroet allemaal.

Ik ondervind aardig wat problemen bij het deel span,voortbrengende verzamelingen.

Als ik het goed begrepen heb is een span de verzameling van alle lineaire combinaties. En de kleinste deelruimte van V.

Nu vraag ik mij hoe moet je een span berekenen.

Ik krijg van mijn leraar oefeningen in de trend van
Toon aan dat {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)}een voortbrengende verzameling is voor R^3 .
Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c element van R voldoen opdat (a,b,c) element van span {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)} ?

Maar ik heb eerlijke gezegd geen idee hoe je van een vector ruimte (span = vector ruimte )/deelverzameling het span moet berekenen.

Dus kan ik ook bovenstaande oefeningen niet maken.

Kan iemand mij even uitleggen hoe een span berekend of achterhaalt wordt.

Dank,

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2009 - 19:17

Als ik het goed begrepen heb is een span de verzameling van alle lineaire combinaties. En de kleinste deelruimte van V.

Dat eerste is goed, als V een vectorruimte is en X is een stel vectoren uit V, dan is span(X) de verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren in X. Dat tweede klopt niet, maar wel: W = span(X) is de kleinste deelruimte van V, die X bevat. We zeggen dat X de ruimte W voortbrengt, of dat X een voortbrengend stel is voor W.

Eenvoudig voorbeeld: Neem als vectorruimte :P en beschouw X={(1,0),(0,1)}. Deze X brengt heel de vectorruimte voort, dus span(X) = :P. Waarom? Elke vector (a,b) uit :D kan geschreven worden als lineaire combinatie van elementen uit X, namelijk (a,b) = a.(1,0)+b.(0,1).

Hetzelfde geldt voor Y={(1,0),(0,1),(2,-3)} bijvoorbeeld, maar niet meer voor Z={(2,1),(-4,-2)}. Zie je waarom? Probeer (2,3) eens als lineaire combinatie van vectoren uit Z te schrijven, dat zal niet gaan... Je komt niet verder dan a.(2,1)+b(-4,-2) = a.(2,1)-2b(2,1) = (a-2b)(2,1). Maar a-2b is weer een scalair, noem het c, dus c(2,1) is het enige dat je kan maken. Hier geldt dus niet span(Z)=:P, maar span(Z) = {k(2,1) | k in :P}, de voortgebrachte ruimte bevat alleen veelvouden van (2,1).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2009 - 19:26

Toon aan dat {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)}een voortbrengende verzameling is voor R^3 .

Je moet met andere woorden tonen dat een willekeurige vector (a,b,c) uit :D geschreven kan worden als lineaire combinatie van de drie gegeven vectoren. Schrijf dus:

(a,b,c) = p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(0,0,1)

Als je kan tonen dat die p,q,r steeds bestaan zodat dit geldt, dan ben je klaar.
Eigenlijk is dit een stelsel, je kan het oplossen naar p,q,r; in functie van a,b,c.

Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c element van R voldoen opdat (a,b,c) element van span {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)} ?

Ben je zeker van deze opgave, of moest er misschien (bijvoorbeeld) -3 staan in de laatste vector?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Meaglor

    Meaglor


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2009 - 19:29

Je moet met andere woorden tonen dat een willekeurige vector (a,b,c) uit :D geschreven kan worden als lineaire combinatie van de drie gegeven vectoren. Schrijf dus:

(a,b,c) = p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(0,0,1)

Als je kan tonen dat die p,q,r steeds bestaan zodat dit geldt, dan ben je klaar.
Eigenlijk is dit een stelsel, je kan het oplossen naar p,q,r; in functie van a,b,c.


Ben je zeker van deze opgave, of moest er misschien (bijvoorbeeld) -3 staan in de laatste vector?


het moest -4 zijn. Mijn excuses.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2009 - 19:33

Dat kan ook, toch een goede gok van mij :D

Maar voor ik je daarmee verder help, misschien ben je al (heel) wat met het voorgaande...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Meaglor

    Meaglor


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2009 - 19:50

Dat kan ook, toch een goede gok van mij :D

Maar voor ik je daarmee verder help, misschien ben je al (heel) wat met het voorgaande...?


JA! :P ik denk dat ik het begrepen heb.

Als ik het goed heb moet de voorwaarde voor de laatste oefening dan 3r-4q-2p=0 zijn. ?

Veranderd door Meaglor, 09 januari 2009 - 19:50


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2009 - 19:52

Nu ben je me even kwijt... De scalairen p,q,r had ik in de voorlaatste oefening ingevoerd.
In de laatste opgave gaat het over een vector (a,b,c), of heb je daar (p,q,r) gebruikt...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Meaglor

    Meaglor


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2009 - 19:54

Nu ben je me even kwijt... De scalairen p,q,r had ik in de voorlaatste oefening ingevoerd.
In de laatste opgave gaat het over een vector (a,b,c), of heb je daar (p,q,r) gebruikt...?


ja dat heb ik. Het zal waarschijnlijk duidelijker zijn als ik de notatie a,b,c had gebruikt. a wordt p, b wordt q en tot slot c wordt r.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2009 - 20:13

Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c element van R voldoen opdat (a,b,c) element van span {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)} ?

Als ik het goed heb moet de voorwaarde voor de laatste oefening dan 3r-4q-2p=0 zijn. ?

Elk element uit de span zou aan deze voorwaarde moeten voldoen, dus ook (2,1,0) zelf bijvoorbeeld.
Nochtans is 3.0-4.1-2.2 = -8 en niet 0. Misschien een paar tekenfoutjes gemaakt? Het lijkt er wel op...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 15:06

Hoe bereken je die voorwaarde dan?

Veranderd door RednasO, 10 januari 2009 - 15:06


#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 18:16

Schrijf de lineaire combinatie eens uit, voor een (a,b,c) met scalairen p,q,r:

(a,b,c) = p.(2,1,0)+q.(1,-1,2)+r.(0,3,-4) = ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 18:40

Ok, bedankt! :D

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 18:42

Je zal zien dat die vectoren afhankelijk zijn, die afhankelijkheid zal zich vertalen in een voorwaarde op a,b,c.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Meaglor

    Meaglor


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2009 - 14:33

Je zal zien dat die vectoren afhankelijk zijn, die afhankelijkheid zal zich vertalen in een voorwaarde op a,b,c.



oke inderdaad vandaag even herberekend en het moet dan volgens mij 2a-4b-3c zijn.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2009 - 14:44

oke inderdaad vandaag even herberekend en het moet dan volgens mij 2a-4b-3c zijn.

Klopt, als je tenminste "=0" bedoelt :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures