[wiskunde] problemen met het concept span

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 21

[wiskunde] problemen met het concept span

Gegroet allemaal.

Ik ondervind aardig wat problemen bij het deel span,voortbrengende verzamelingen.

Als ik het goed begrepen heb is een span de verzameling van alle lineaire combinaties. En de kleinste deelruimte van V.

Nu vraag ik mij hoe moet je een span berekenen.

Ik krijg van mijn leraar oefeningen in de trend van

Toon aan dat {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)}een voortbrengende verzameling is voor R^3 .

Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c element van R voldoen opdat (a,b,c) element van span {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)} ?

Maar ik heb eerlijke gezegd geen idee hoe je van een vector ruimte (span = vector ruimte )/deelverzameling het span moet berekenen.

Dus kan ik ook bovenstaande oefeningen niet maken.

Kan iemand mij even uitleggen hoe een span berekend of achterhaalt wordt.

Dank,

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Als ik het goed begrepen heb is een span de verzameling van alle lineaire combinaties. En de kleinste deelruimte van V.
Dat eerste is goed, als V een vectorruimte is en X is een stel vectoren uit V, dan is span(X) de verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren in X. Dat tweede klopt niet, maar wel: W = span(X) is de kleinste deelruimte van V, die X bevat. We zeggen dat X de ruimte W voortbrengt, of dat X een voortbrengend stel is voor W.

Eenvoudig voorbeeld: Neem als vectorruimte :P ² en beschouw X={(1,0),(0,1)}. Deze X brengt heel de vectorruimte voort, dus span(X) = :P ². Waarom? Elke vector (a,b) uit :D ² kan geschreven worden als lineaire combinatie van elementen uit X, namelijk (a,b) = a.(1,0)+b.(0,1).

Hetzelfde geldt voor Y={(1,0),(0,1),(2,-3)} bijvoorbeeld, maar niet meer voor Z={(2,1),(-4,-2)}. Zie je waarom? Probeer (2,3) eens als lineaire combinatie van vectoren uit Z te schrijven, dat zal niet gaan... Je komt niet verder dan a.(2,1)+b(-4,-2) = a.(2,1)-2b(2,1) = (a-2b)(2,1). Maar a-2b is weer een scalair, noem het c, dus c(2,1) is het enige dat je kan maken. Hier geldt dus niet span(Z)= :P ², maar span(Z) = {k(2,1) | k in :P }, de voortgebrachte ruimte bevat alleen veelvouden van (2,1).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Toon aan dat {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)}een voortbrengende verzameling is voor R^3 .
Je moet met andere woorden tonen dat een willekeurige vector (a,b,c) uit :D ³ geschreven kan worden als lineaire combinatie van de drie gegeven vectoren. Schrijf dus:

(a,b,c) = p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(0,0,1)

Als je kan tonen dat die p,q,r steeds bestaan zodat dit geldt, dan ben je klaar.

Eigenlijk is dit een stelsel, je kan het oplossen naar p,q,r; in functie van a,b,c.
Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c element van R voldoen opdat (a,b,c) element van span {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)} ?
Ben je zeker van deze opgave, of moest er misschien (bijvoorbeeld) -3 staan in de laatste vector?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 21

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

TD schreef:Je moet met andere woorden tonen dat een willekeurige vector (a,b,c) uit :D ³ geschreven kan worden als lineaire combinatie van de drie gegeven vectoren. Schrijf dus:

(a,b,c) = p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(0,0,1)

Als je kan tonen dat die p,q,r steeds bestaan zodat dit geldt, dan ben je klaar.

Eigenlijk is dit een stelsel, je kan het oplossen naar p,q,r; in functie van a,b,c.

Ben je zeker van deze opgave, of moest er misschien (bijvoorbeeld) -3 staan in de laatste vector?
het moest -4 zijn. Mijn excuses.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Dat kan ook, toch een goede gok van mij :D

Maar voor ik je daarmee verder help, misschien ben je al (heel) wat met het voorgaande...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 21

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

TD schreef:Dat kan ook, toch een goede gok van mij :D

Maar voor ik je daarmee verder help, misschien ben je al (heel) wat met het voorgaande...?
JA! :P ik denk dat ik het begrepen heb.

Als ik het goed heb moet de voorwaarde voor de laatste oefening dan 3r-4q-2p=0 zijn. ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Nu ben je me even kwijt... De scalairen p,q,r had ik in de voorlaatste oefening ingevoerd.

In de laatste opgave gaat het over een vector (a,b,c), of heb je daar (p,q,r) gebruikt...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 21

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

TD schreef:Nu ben je me even kwijt... De scalairen p,q,r had ik in de voorlaatste oefening ingevoerd.

In de laatste opgave gaat het over een vector (a,b,c), of heb je daar (p,q,r) gebruikt...?


ja dat heb ik. Het zal waarschijnlijk duidelijker zijn als ik de notatie a,b,c had gebruikt. a wordt p, b wordt q en tot slot c wordt r.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c element van R voldoen opdat (a,b,c) element van span {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)} ?
Als ik het goed heb moet de voorwaarde voor de laatste oefening dan 3r-4q-2p=0 zijn. ?
Elk element uit de span zou aan deze voorwaarde moeten voldoen, dus ook (2,1,0) zelf bijvoorbeeld.

Nochtans is 3.0-4.1-2.2 = -8 en niet 0. Misschien een paar tekenfoutjes gemaakt? Het lijkt er wel op...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 45

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Hoe bereken je die voorwaarde dan?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Schrijf de lineaire combinatie eens uit, voor een (a,b,c) met scalairen p,q,r:

(a,b,c) = p.(2,1,0)+q.(1,-1,2)+r.(0,3,-4) = ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 45

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Ok, bedankt! :D

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Je zal zien dat die vectoren afhankelijk zijn, die afhankelijkheid zal zich vertalen in een voorwaarde op a,b,c.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 21

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

Je zal zien dat die vectoren afhankelijk zijn, die afhankelijkheid zal zich vertalen in een voorwaarde op a,b,c.
oke inderdaad vandaag even herberekend en het moet dan volgens mij 2a-4b-3c zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] problemen met het concept span

oke inderdaad vandaag even herberekend en het moet dan volgens mij 2a-4b-3c zijn.
Klopt, als je tenminste "=0" bedoelt :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer