Wetenschapsforum

Hallo,

Ik moet enkele oefeningen maken voor wiskunde, maar van deze hier weet ik niet hoe ik eraan moet beginnen. Het zou dus tof zijn als iemand mij op weg zou kunnen zetten en zeggen hoe ik eraan moet beginnen.

Hier is de oefening:

De grafiek van de functie f(x) = ln ( + b) heeft een schuine asymptoot y = 2x voor x + en een horizontale asymptoot y = 1 voor x -

Bepaal a en b.

Hmja wat ik zei klopt dus helemaal niet.

Wat is de formule voor een schuine asymptoot? Kan je deze opstellen en dan gelijkstellen aan de gekregen formule? Daar kan je dan misschien a en b uit halen.

de formule voor een schuine asymptoot is: y= ax + b

met:

a = lim x+- b = lim x+- (f(x) - ax)

Als ik de formule van de SA gelijkstel aan de gegeven functie, zie çik niet zo direct waar ik verder kan.

Intuïtief: als x naar oneindig gaat en a is positief, dan zal b te verwaarlozen zijn ten opzichte van e^ax. Je hebt dan y = ln(e^ax) = ax. Neem a=2 en je hebt als schuine asymptoot y=2x. Omgekeerd, als a positief is en x gaat naar -oneindig, dan gaat e^ax naar 0. Wat moet b dan zijn om y=1 over te houden? Probeer het eventueel zelf met de formules op te schrijven.

Ik zal nog eens proberen dan, maar ik snap het eigenlijk nog niet echt.

En ik was nog vergeten dat de oplossingen vanachter in ons boek staan, maar zelfs daarmee vind ik het niet.

a = 2 en b = e

dat zouden de oplossingen moeten zijn.

Dat klopt. Begrijp je bovenstaande intuïtieve uitleg? Anders pas je de formule toe, tot waar geraak je?

Intuïtief: als x naar oneindig gaat en a is positief, dan zal b te verwaarlozen zijn ten opzichte van e^ax. Je hebt dan y = ln(e^ax) = ax.

Zoals je het zegt snap ik wel wat eruit voortkomt, maar waarom mag je a positief nemen als je a eigenlijk moet zoeken? Kan a ook niet negatief zijn, en dan is het toch een heel ander verhaal?

Neem a=2 en je hebt als schuine asymptoot y=2x. Omgekeerd, als a positief is en x gaat naar -oneindig, dan gaat e^ax naar 0. Wat moet b dan zijn om y=1 over te houden?

Hoe weet je dat je a moet linken met de schuine asymptoot en dus met de vgl. y = 2x , en b met de horizontale saymptoot en dus met de vgl. y=1?

En dan snap ik nog niet hoe je tot b = e komt

BramusBoy schreef:de formule voor een schuine asymptoot is: y= ax + b

met:

a = lim x

\(\rightarrow\)

+-

\( \frac{f(x)}{x} \)

b = lim x

\(\rightarrow\)

+- (f(x) - ax)

Als ik de formule van de SA gelijkstel aan de gegeven functie, zie çik niet zo direct waar ik verder kan.

Kijk eens of je wel verder komt als je uitgaat van en .

Ik had je reactie blijkbaar over het hoofd gezien...

Hoe weet je dat je a moet linken met de schuine asymptoot en dus met de vgl. y = 2x , en b met de horizontale saymptoot en dus met de vgl. y=1?

Tja, "inzicht"

Ken je de formules van mathreak en mag je die gebruiken? Dat kan je zelf eens proberen.

Met jouw formule is het wat vervelender. Schrijf bijvoorbeeld:
Dan is:

Tja, "inzicht"

Ja, maar dat zal voor onze leerkracht niet genoeg zijn denk ik

Ken je de formules van mathreak en mag je die gebruiken?

Neen, die formules hebben we nog niet gezien en ik veronderstel dus ook dat we ze niet mogen gebruiken...

Met jouw formule is het wat vervelender. Schrijf bijvoorbeeld:

\(\frac{{\ln \left( {e^{ax} + b} \right)}}{x} = \frac{{\ln \left( {e^{ax} \left( {1 + be^{ - ax} } \right)} \right)}}{x} = \frac{{\ln \left( {e^{ax} } \right) + \ln \left( {1 + be^{ - ax} } \right)}}{x} = \frac{{ax + \ln \left( {1 + be^{ - ax} } \right)}}{x}\)

Dan is:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln \left( {e^{ax} + b} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ax + \ln \left( {1 + be^{ - ax} } \right)}}{x}\)

Wat heb je gedaan op van die eerste stap naar de tweede te gaan, en wat heb je dan eigenlijk berekend op het einde?

Ik zet de e-macht buiten haakjes om vervolgens log(x.y) = log(x)+log(y) te gebruiken.

Opmerking: dat a>0 is, zou gegeven moeten zijn. Voor a<0 ligt de horizontale asymptoot namelijk rechts en de schuine links.

Ok, dat hier snap ik het, maar wat ben je dan met wat je daar hebt uitgerekend? Aan wat moet je dat ten eerste al gelijkstellen, aan y?

En moet je daaruit dan a en b berekenen zonder nog een gegeven?

Ik pas de formule toe om 'a' van de schuine asymptoot te berekenen. Dat 'a' noemen is nu wat vervelend, want 'a' is al gebruikt in het functievoorschrift. Ik noteer dus gewoon de limiet:
Dan heb ik even met die breuk gerekend om de notatie niet te zwaar te maken. Uiteindelijk komen we tot:
Het voordeel hiervan is dat de limiet rechts nu berekend kan worden. Als x naar oneindig gaat, gaat e^-ax naar 0 en staat er nog ln(1) en dat is ook 0. Er blijf over ax/x = a, dus de limiet is a.

Conclusie: de 'a' van de schuine asymptoot, is precies de 'a' uit het voorschrift. Wil je dus een schuine asymptoot y=2x, dan moet je a=2 kiezen in je functievoorschrift.

aha, ik snap het nu.

En moet je b dan op dezelfde manier vinden?

Voor de schuine asymptoot? Daar is geen b, want ze vragen een SA van y=2x, dus b=0.

Voor de horizontale (maar dan op -oneindig), zal het iets met de 'b' uit het voorschrift gaan zijn...

Bepaal daarvoor de limiet van f(x) voor x naar -oneindig en denk eraan dat a>0 is. Probeer eens.