Springen naar inhoud

[wiskunde] eigenruimtes


  • Log in om te kunnen reageren

#1

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 19:39

Ik heb hier een opdracht, namelijk:

Beschouw de transformatie T van Mat(2,R) die een matrix afbeeldt op zijn adjunct. Bepaal de eigenwaarden en de eigenruimten van T en ga na of T diagonaliseerbaar is.

De transformatie heb ik al gevonden:
LaTeX

De daarbij horende transformatievectoren zijn:
(0,0,0,1), (0,0,-1,0), (0,-1,0,0) en (1,0,0,0)

De daarbij horende transformatiematrix T:
LaTeX

Dan heb ik de eigenwaarden van T uitgerekend, deze zijn gelijk aan -1 en 1.

Dan weet ik dat je de eigenwaarden om de beurt moet invullen in de vergelijking det(T-λ*I)=0. En dan zou je normaal aan de hand van deze matrices de eigenvectoren moeten vinden. Maar het lukt mij niet om de eigenvectoren te bepalen uit deze matrices...

Kan iemand me helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 19:43

Waar zit je vast? Begin eens met λ=1 bijvoorbeeld, je hebt dan het stelsel (A-Iλ)x = 0, naar x op te lossen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 19:56

Als ik x = (x1,x2,x3,x4) neem, dan bekom ik voor λ=1 de vergelijkingen
x2 = 0
x3 = 0
Maar hoe kun je hieruit de eigenvectoren bepalen? Want in mijn oplossingenbundel staat er dat de eigenruimte voor λ=1 gelijk is aan
LaTeX

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:01

Is dat alles? Ik vind twee (onafhankelijke) eigenvectoren per eigenwaarde...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:03

Ja, voor λ=1 zegt de prof dat er ťťn is, namelijk die van hierboven en voor λ=-1 zijn er dan drie... Daarom dat ik het ook niet zo begrijp hoe ik de eigenvectoren moeten bepalen..

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:09

Nee, dat kan niet... Beide eigenwaarden zijn dubbele wortels, dus je hebt er maximaal (en in dit geval precies) twee per eigenwaarde. Of je matrix is fout...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:15

Volgens mij klopt het antwoord van de prof niet, want hij zegt in zijn oplossing dan wel dat de matrix diagonaliseerbaar is, maar daarvoor moeten de algebraÔsche en de meetkundige multipliciteit gelijk zijn, en dat is in zijn oplossing niet het geval.. Toch?

Kun je mij dan eens uitleggen hoe je uit die vergelijkingen dan wel de eigenvectoren kunt halen, om dan de eigenruimte op te stellen?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:17

Volgens mij klopt het antwoord van de prof niet, want hij zegt in zijn oplossing dan wel dat de matrix diagonaliseerbaar is, maar daarvoor moeten de algebraÔsche en de meetkundige multipliciteit gelijk zijn, en dat is in zijn oplossing niet het geval.. Toch?

De matrix is ook diagonaliseerbaar, omdat je vier (lineair onafhankelijke) eigenvectoren vindt. Maar wel twee per eigenwaarde... Beide eigenwaarden hebben algebraÔsche multipliciteit 2 (de meetkundige kan dan niet groter zijn, dus niet 3...!) en volgens mij ook meetkundige multipliciteit 2.

Kun je mij dan eens uitleggen hoe je uit die vergelijkingen dan wel de eigenvectoren kunt halen, om dan de eigenruimte op te stellen?

Na vervanging van lambda = 1 heb je als coŽfficiŽntenmatrix:

LaTeX

Hier kan je wel wat in vereenvoudigen. Wat hou je over?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:29

Dan kom ik twee vergelijkingen uit:
x1-x4=0
x2+x3=0

En voor λ=-1 kom ik deze twee uit:
x1+x4=0
x2-x3=0

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:31

Dan kom ik twee vergelijkingen uit:
x1-x4=0
x2+x3=0

Dus (1,0,0,1) haal ik als eigenvector uit de eerste vergelijking (voldoet ook aan 2) en (0,1,-1,0) uit de tweede (voldoet ook aan 1).

En voor λ=-1 kom ik deze twee uit:
x1+x4=0
x2-x3=0

Op dezelfde manier kan jij hier misschien de twee andere eigenvectoren uithalen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:33

(1,0,0,-1) en (0,1,1,0).

En als je dan bijvoorbeeld x3=0 zou krijgen.. Wat is dan de eigenvector corresponderend met deze vergelijking?

Veranderd door RednasO, 10 januari 2009 - 20:35


#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:36

(1,0,0,-1) en (0,1,1,0)

Juist.

En als je dan bijvoorbeeld x3=0 zou krijgen.. Wat is dan de eigenvector corresponderend met deze vergelijking?

Dat hangt ook nog af van de voorwaarden op de andere variabelen...
Als dit alles is (en je hebt vier variabelen), dan krijg je er drie (onafhankelijke) uit...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:41

Dus stel dat je vier veranderlijken hebt, namelijk x1, x2, x3 en x4. En je krijgt de vergelijkingen
x1-x4 = 0
x3 = 0
Dan kun je daaruit besluiten dat de eigenvectoren (1,0,0,1) en (0,1,0,0) zijn? Of klopt deze redenering niet?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:44

Dat klopt!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

RednasO

    RednasO


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2009 - 20:45

Ok! :D
Dank je wel voor de verheldering!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures