[wiskunde] algebra

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 45

[wiskunde] algebra

T is de lineaire afbeelding van Mat(2,R) naar Mat(3,R) waarbij
\( \left[ \begin{array}{cols} a & b \\ c & d \end{array} \right]\)
wordt afgebeeld op
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & a-b & a-b \\ 0 & c-d & c-d \\ a-c & b-d & 0 \end{array} \right] \)
.

a) Bepaal een basis van Ker T (de kern van T) en een basis van Im T (het beeld van T).

b) Verifieer de tweede dimensiestelling (algebraïsche en geometrisch multipliciteit van de eigenwaarden moeten gelijk zijn)

c) Geef de basis [T] van deze lineaire afbeelding ten opzichte van de standaardbasissen.

Dit heb ik al gevonden, namelijk de beelden van de basisvectoren:
\( \left[ \begin{array}{cols} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right]\)
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right]\)
Maar ik weet hierna niet goed, hoe ik deze matrices moet gebruiken om de lineaire afbeelding een matrix T te gieten en dan zo de kern en het beeld te bepalen..

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] algebra

De ker(T) bevat alle matrices die de matrix nul opleveren. Als je kijkt naar de afbeelding moet er dus gelden:

a=b=c=d, dus voor een willekeurig getal p:
\( \left[ \begin{array}{cols} p &p \\ p & p \end{array} \right] \)
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] algebra

Voor Im(f), stel a-b = r, c-d = s en b-d = t; dan is a-c = r-s+t.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 7

Re: [wiskunde] algebra

dus voor de kern moet je kijken welke matrix uit V ervoor zorgt dat de transformatie nul is, dus deze matrix

1 1

1 1

maar hoe zou dan de im t eruit zien?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] algebra

Niet alleen die matrix, maar ook bijvoorbeeld:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} { - 2} & { - 2} \\ { - 2} & { - 2} \\\end{array}} \right)\)
In het algemeen (zie bericht van dirkwb):
\(\ker T = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}c} k & k \\ k & k \\\end{array}} \right)\left| k \in \rr \right.} \right\}\)
Snap je dat? Voor Im(T), zie alvast mijn aanzet in m'n vorig bericht.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 7

Re: [wiskunde] algebra

ja dat snap, maar dus im t heeft maar 1 vector dan? of ben ik mis?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] algebra

Nee, vervang in de beeldvector eens a,b,c,d door mijn nieuwe variabelen r,s,t.

Een element uit Im(f) is dan van die vorm, waarbij r,s,t onafhankelijk zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 7

Re: [wiskunde] algebra

TD schreef:Nee, vervang in de beeldvector eens a,b,c,d door mijn nieuwe variabelen r,s,t.

Een element uit Im(f) is dan van die vorm, waarbij r,s,t onafhankelijk zijn.
ok ik denk dat ik het heb.

dan krijg je 3 keer een 3x3 matrix, met 1 in r, 1 in s en 1 in t.

als ik het nu niet snap, schiet ik me voor de kop:p

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] algebra

Ja, je hebt dus drie onafhankelijke "basisvectoren"; de dimensie van Im(T) is dus 3.

Dat klopt netjes want die van Ker(T) was 1, dus samen inderdaad 4 - zoals verwacht.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer