T is de lineaire afbeelding van Mat(2,R) naar Mat(3,R) waarbij
\( \left[ \begin{array}{cols} a & b \\ c & d \end{array} \right]\)
wordt afgebeeld op
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & a-b & a-b \\ 0 & c-d & c-d \\ a-c & b-d & 0 \end{array} \right] \)
.
a) Bepaal een basis van Ker T (de kern van T) en een basis van Im T (het beeld van T).
b) Verifieer de tweede dimensiestelling (algebraïsche en geometrisch multipliciteit van de eigenwaarden moeten gelijk zijn)
c) Geef de basis [T] van deze lineaire afbeelding ten opzichte van de standaardbasissen.
Dit heb ik al gevonden, namelijk de beelden van de basisvectoren:
\( \left[ \begin{array}{cols} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right]\)
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
\( \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cols} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right]\)
Maar ik weet hierna niet goed, hoe ik deze matrices moet gebruiken om de lineaire afbeelding een matrix T te gieten en dan zo de kern en het beeld te bepalen..