Springen naar inhoud

[wiskunde] afgeleiden a^x


  • Log in om te kunnen reageren

#1

MarijnB

    MarijnB


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2009 - 10:53

Ik heb een vraag betreffende het bewijs van de afgeleiden van een exponetiele functie. Op internet vond ik het volgende:

f(x)=a^x -- f '(x)=a^xln(a)
Er geldt:
a^x = e^u(x), waarbij u(x) = xln(a)
Zodat we, gebruikmakend van de kettingregel, voor de afgeleide van f vinden:
f '(x) = e^u(x) u '(x)
en u'(x) = ln(a)


Wat ik niet snap is de volgende stap, gebruik makend van de kettingregel
a^x = e^u(x) naar f '(x) = e^u(x) u '(x)

Je moet gebruik maken van de kettingregel, en die snap ik ook, maar hie zie ik de kettingregel niet terug

Veranderd door MarijnB, 14 januari 2009 - 10:54


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2009 - 11:45

ze schrijven ax als e ln(aLaTeX
ex kunnen we afleiden
Dus dat is de afgeleide daarvan, en dan wegens de kettingregel maal de afgeleide van die exponent (zijnde x ln(a) )
De afgeleide hiervan is ln (a)

Veranderd door Tommeke14, 14 januari 2009 - 11:45


#3

MarijnB

    MarijnB


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2009 - 11:58

Je hebt dus e^(x In(a))

Stel je hebt bv: f(x) = (2x)^4 dan is de afgeleiden, volgens de kettingregel: f'(x) = 4(2x)^3 * 2

Als ik dus de kettingregel toepas op f = e^(x In(a)) = (e^(in(a)))^x
Dan krijg ik f'(x) = x(e^(in(a)) * In(a)

Dit klopt niet, maar nu pas ik wel de kettingregel toe, toch? wat doe ik nou fout?

#4

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2009 - 12:06

e ln(aLaTeX
Laten we even zoals in je voorbeeld u = ln(aLaTeX
afleiden:
eu*u'
Daarna gaan we terug substitueren:
e ln(aLaTeX *ln(a)
Dat eerst was gelijk aan ax
Dus de afgeleide is ax*ln(a)


het is niet
(e^(ln(a)))^x
Maar (e^(ln(a)*x))
Dat zijn namelijk de rekenregels van logaritmen:

ln(a^b) = b*ln(a)

Veranderd door Tommeke14, 14 januari 2009 - 12:07


#5

MarijnB

    MarijnB


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2009 - 13:03

De kettingregel = g(h(x)) = g'(h(x)).h'(x)
g(x) = e^(....) g'(x)= e^(...) h'(x) = n(a)

Het probleem is denk ik de afgeleiden van e. Als ik het LAASTE gedeelte van de kettingregel invul krijg ik het volgende: g'(h(x)).h'(x) = g' * e^(x In(a)) * In(a)

Zie je waarom ik het niet snap? je moet toch ook nog g'(x) invullen en dat is toch gewoon e?

#6

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2009 - 13:10

de kettingregel is de afgeleide van het geheel maal de afgeleide van "het binnenste"

g'(h(x)).h'(x) = g' * e^(x In(a)) * In(a)


die g'*
moet er volgens de kettingregel niet eens bijstaan...

#7

MarijnB

    MarijnB


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2009 - 14:11

Yes! ik snap het!

g(h(x)) = g'(h(x)).h'(x)
g'= e
h(x) = x In(a)
h'(x) = In(a)

Invullen: e^(x In a) * In(a)

Tommeke14, bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures