[wiskunde] afgeleiden a^x

MarijnB

Ik heb een vraag betreffende het bewijs van de afgeleiden van een exponetiele functie. Op internet vond ik het volgende:

f(x)=a^x -- f '(x)=a^x·ln(a)

Er geldt:

a^x = e^u(x), waarbij u(x) = x·ln(a)

Zodat we, gebruikmakend van de kettingregel, voor de afgeleide van f vinden:

f '(x) = e^u(x) · u '(x)

en u'(x) = ln(a)

Wat ik niet snap is de volgende stap, gebruik makend van de kettingregel

a^x = e^u(x) naar f '(x) = e^u(x) · u '(x)

Je moet gebruik maken van de kettingregel, en die snap ik ook, maar hie zie ik de kettingregel niet terug

Tommeke14

ze schrijven a^x als e^{ln(a[tex]^x )[/tex]}

e^x kunnen we afleiden

Dus dat is de afgeleide daarvan, en dan wegens de kettingregel maal de afgeleide van die exponent (zijnde x ln(a) )

De afgeleide hiervan is ln (a)

MarijnB

Je hebt dus e^(x In(a))

Stel je hebt bv: f(x) = (2x)^4 dan is de afgeleiden, volgens de kettingregel: f'(x) = 4(2x)^3 * 2

Als ik dus de kettingregel toepas op f = e^(x In(a)) = (e^(in(a)))^x

Dan krijg ik f'(x) = x(e^(in(a)) * In(a)

Dit klopt niet, maar nu pas ik wel de kettingregel toe, toch? wat doe ik nou fout?

Tommeke14

e^{ln(a[tex]^x )[/tex]}

Laten we even zoals in je voorbeeld u = ln(a

\(^x )\)

afleiden:

e^u*u'

Daarna gaan we terug substitueren:

e^{ln(a[tex]^x )[/tex]} *ln(a)

Dat eerst was gelijk aan a^x

Dus de afgeleide is a^x*ln(a)

het is niet

(e^(ln(a)))^x

Maar (e^(ln(a)*x))

Dat zijn namelijk de rekenregels van logaritmen:

ln(a^b) = b*ln(a)

MarijnB

De kettingregel = g(h(x)) = g'(h(x)).h'(x)

g(x) = e^(....) g'(x)= e^(...) h'(x) = Ín(a)

Het probleem is denk ik de afgeleiden van e. Als ik het LAASTE gedeelte van de kettingregel invul krijg ik het volgende: g'(h(x)).h'(x) = g' * e^(x In(a)) * In(a)

Zie je waarom ik het niet snap? je moet toch ook nog g'(x) invullen en dat is toch gewoon e?

Tommeke14

de kettingregel is de afgeleide van het geheel maal de afgeleide van "het binnenste"

g'(h(x)).h'(x) = g' * e^(x In(a)) * In(a)

die g'*

moet er volgens de kettingregel niet eens bijstaan...

MarijnB

Yes! ik snap het!

g(h(x)) = g'(h(x)).h'(x)

g'= e

h(x) = x In(a)

h'(x) = In(a)

Invullen: e^(x In a) * In(a)

Tommeke14, bedankt!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] afgeleiden a^x

[wiskunde] afgeleiden a^x

Re: [wiskunde] afgeleiden a^x

Re: [wiskunde] afgeleiden a^x

Re: [wiskunde] afgeleiden a^x

Re: [wiskunde] afgeleiden a^x

Re: [wiskunde] afgeleiden a^x

Re: [wiskunde] afgeleiden a^x