Wiskundige reeks (moeilijke)

m00se

Heeft iemand een idee voor de reeksontwikkeling van onderstaande?

\(\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(i!)^{2}} = ??? \)

Degene die het dichtst in de buurt komt van diegenen die ik ken is deze, maar die is het dus niet:

\(\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!} = \cosh x \)

Alvast bedankt

physicalattraction

Volgens Mathematica komt er een modified Bessel function of the first kind uit, orde 0 met als argument 2x, dus

\(I_0(2x)\)

, oftewel een Bessel function of the first kind met als argument 2x*i, dus

\(J_0(i 2x)\)

, waarbij i de imaginaire eenheid is. Zie ook Wikipedia. Hoe je hieraan zou moeten komen, zie ik niet gelijk in.

PeterPan

Zeg

\(y = \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{i}}{(i!)^{2}}\)

Dan is

\(y' = \sum^{\infty}_{i=0} \frac{ix^{i-1}}{(i!)^{2}}\)

Dan is

\(xy' = \sum^{\infty}_{i=0} \frac{ix^{i}}{(i!)^{2}}\)

Dan is

\((xy')' = \sum^{\infty}_{i=0} \frac{i^2x^{i-1}}{(i!)^{2}} = \sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^{i-1}}{(i-1)!^{2}} = y\)

De rest is voor de lezer.

jhnbk

Verplaatst naar analyse & calculus.

Wetenschapsforum