Springen naar inhoud

De gulden snede (maar dan anders)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2009 - 23:31

We kennen allemaal de Gulden Snede.

Geplaatste afbeelding

Die valt vrij eenvoudig te berekenen:

LaTeX

LaTeX

Deze Gulden Snede heeft tal van bijzondere eigenschappen zoals:
* het feit dat opeenvolgende machten van de Gulden Snede optelbaar zijn (zgn. "recurrence relation");
* er is een directe relatie bestaat met de reeks van Fibonacci;
* je kunt hem schrijven als recursieve wortel en een recursieve breuk met enkel het getal 1 (de Gulden Snede wordt ook wel het meest irrationale getal genoemd, maar er bestaat een concurrent dus lees gauw verder!).


Stel dat we de negatieve tegenhanger van de Gulden Snede (ik noem hem LaTeX ) als volgt definieren:

LaTeX

LaTeX

Alhoewel het onmogelijk is om deze ratio in een tekening of bouwwerk weer te geven of er een mooie vijfhoek van de maken, blijkt deze tegenhanger ook al die mooie eigenschappen van de echte Gulden Snede te hebben!

Ten eerste ligt er een hele directe link naar LaTeX en LaTeX want:

LaTeX

Ten tweede vond ik net zo'n mooie link naar Fibonacci, maar dan naar de negatieve equivalent daarvan:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Dit resulteert in de reeks:

0,-1,-1, 0, 1, 1, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0...

en je kunt elk getal in de reeks bepalen met de formule (net zoals bij Fibonacci):

LaTeX

Ten derde blijkt dat de opeenvolgende machten gewoon van elkaar afgetrokken kunnen worden (i.p.v. opgeteld):

LaTeX

Als je n = 1 invult, dan ontstaat de speciale relatie:

LaTeX

En die kunnen we gebruiken om de recursieve fractie te bepalen (gewoon telkens de formule voor LaTeX voor de LaTeX onder het breukteken invullen. Dan krijg je:

LaTeX (dus hoezo LaTeX is het meest irrationale getal?)

En daarmee ontstaat de mogelijkheid om stiekem LaTeX te definieren zonder een wortel uit een negatief getal te gebruiken :

LaTeX

LaTeX

:D

Maar laten we als laatste de recursieve wortel niet vergeten die ook keurig blijkt te kloppen (maar dan met -1):

LaTeX

Ik heb dit in stukjes en beetjes eerder deze week op een Amerikaans wiskundeforum gepost maar kreeg nog geen reacties. Dus wellicht doe ik wel iets heel stoms...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 januari 2009 - 00:08

LaTeX
Bestaat de limiet van de rij eidige kettingbreuken (=convergenten=approximanten) wel?

LaTeX ?

LaTeX bestaat niet zoals je weet, dus wat moet ik dan van deze constructie maken?

#3

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2009 - 00:30

LaTeX


Bestaat de limiet van de rij eidige kettingbreuken (=convergenten=approximanten) wel?

LaTeX ?

LaTeX bestaat niet zoals je weet, dus wat moet ik dan van deze constructie maken?


PeterPan,

De recursieve breuk is afgeleid uit de recursieve formule LaTeX en die klopt precies voor LaTeX . Logischerwijs moet dan de limiet LaTeX hieraan gelijk zijn (voor de Gulden Snede wordt deze op precies dezelfde manier berekend maar met LaTeX )

De recursieve wortelformule heb ik getest voor een groot aantal recursiestappen in Maple en die lijkt te kloppen (waarbij je natuurlijk meteen een punt hebt omdat je bij het testen ergens na een discreet aantal stappen moet stoppen en er "tijdelijk" de waarde LaTeX moet invullen.

Kan je overigens bewijzen dat de recursieve breuk niet convergeert?

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 januari 2009 - 09:59

Oneindige constructies zoals
LaTeX LaTeX LaTeX LaTeX

hebben geen betekenis, tenzij je er een betekenis aan geeft d.m.v. een limietproces.
Zo wordt met LaTeX bedoeld de limiet van de reeks
LaTeX

en met LaTeX de limiet van de rij
LaTeX
Is LaTeX ? Ja, want de limiet van de rij is 1.

Met LaTeX wordt bedoeld de limiet van de rij
LaTeX .
Hierbij moeten we dan afspreken dat we met LaTeX bedoelen LaTeX en dat LaTeX voor LaTeX .
De limiet is inderdaad LaTeX .

Maar wat is LaTeX ?
Ik kan er geen rij bij bedenken zonder ergens door 0 te delen.

Veranderd door PeterPan, 16 januari 2009 - 10:09


#5

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2009 - 20:48

(...)

Maar wat is LaTeX

?
Ik kan er geen rij bij bedenken zonder ergens door 0 te delen.


Kun je dan wel een rij bedenken bij: LaTeX ?

Toch komt daar kennelijk gewoon LaTeX uit.

Volgens mij zit hem de truc in de recursieve formule waar de enige mogelijke limiet waarde gelijk is aan de oplossing van de recursieve formule. Je kunt je echter niets concreets bij zo'n limiet voorstellen, maar je kunt hem wel uitrekenen.

Veranderd door Agno, 16 januari 2009 - 20:51


#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 januari 2009 - 22:31

De rij die bij LaTeX hoort is
LaTeX

De rij LaTeX is geen goede rij, want je deelt door 0.

Ook met een truc lukt het niet:
De rij LaTeX
convergeert niet.

#7

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2009 - 00:29

De rij die bij LaTeX

hoort is
LaTeX

De rij LaTeX is geen goede rij, want je deelt door 0.

Ook met een truc lukt het niet:
De rij LaTeX
convergeert niet.


Maar de truc is:

De rij:

LaTeX

"convergeert" altijd naar LaTeX ongeacht de diepte van de recursie.

Dezelfde truc kun je toepassen op de orginele Gulden Snede, maar dan met LaTeX .

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 17 januari 2009 - 11:58

Klopt, maar dat kan niet de betekenis zijn van LaTeX .

#9

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2009 - 18:05

Klopt, maar dat kan niet de betekenis zijn van LaTeX

.


Waarom niet? Als je de limiet naar nul laat lopen dan moet je inderdaad delen naar nul en als je hem naar +- oneindig laat gaan dan divergeert de reeks. Hij convergeert echter wel voor een limiet naar een complex getal, dus als je het domain tot complexe getallen beperkt dan is dat kennelijk de 'betekenis'.

Nog iets anders wat ik vond:

Door elk n-e element van de reeks van Fibonacci te delen door LaTeX en alle resultaten te sommeren krijg je de breuk LaTeX . Als je dit alternerend +/- doet dan ontstaat de breuk: LaTeX . Toevallig allebei ook nog priemgetallen.

Vroeg me af of dit ook werkt voor de negatieve Fibonacci reeks:

LaTeX

Het werkt inderdaad en er komt precies LaTeX uit en alternerend LaTeX (ook precies 20 verschil en 2 hoger dan de echte Fibonacci. Beiden geen priem).

Geen flauw idee waarom.

#10

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2009 - 20:09

Ook even getest of de negatieve equivalent van Fibonacci een relatie heeft met de Driehoek van Pascal en dat blijkt ook te kloppen (beginnen met -1 en de som van de twee bovenliggende getallen nemen. De som van de getallen op de schuine lijnen vormen alternerend -/+ precies de reeks).

Geplaatste afbeelding

#11

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2009 - 23:33

Heb nog een beetje verder zitten zoeken naar een verklaring voor die LaTeX en die LaTeX . Eerst maar eens gekeken of dit alleen maar geldt voor de Gulden Snedes. Voor hen geldt respectievelijk LaTeX en LaTeX . Dit kan natuurlijk ook voor andere waardes dan 1 en dit levert de volgende tabel op:

LaTeX

Als k met 1 toeneemt dan stijgt het verschil tussen LaTeX en LaTeX met 0.25. Dit is eenvoudig te verklaren met de ABC formule (a=1, b=1, c=-k). In deze formule LaTeX stijgt LaTeX telkens met 1 als k met 0,25 toeneemt.

Ook is het oplopen van de breuken LaTeX voor k<0 en LaTeX voor k>0 eenvoudig te verklaren. Maar waarom flipt de noemer opeens van 89 naar 91 is me een raadsel?

De herhalende breukpatronen in LaTeX voor k<0 zijn overgens altijd precies 6 (ook het patroon in de "Fibonacci" reeks).

Dus veralgemeniseert:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

In elk geval weer een hoop nieuwe LaTex commando's erbij geleerd :D

Veranderd door Agno, 18 januari 2009 - 23:37


#12

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 januari 2009 - 07:51

In elk geval weer een hoop nieuwe LaTex commando's erbij geleerd :D

Dat is zeker! Ik wil haast niet weten hoeveel typwerk je daarin hebt gestoken. Ik hoop in ieder geval van harte dat al je wiskundige inspanningen ooit eens beloond mogen worden met een revolutionaire doorbraak.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 19 januari 2009 - 13:16

Je resultaat voor neg. fibonacci en de driehoek van Pascal vind ik wel aardig.
Zoals je zei is

LaTeX

Merk op dat 89 zelf ook een Fibonaccigetal is.
Nu zou je je kunnen afvragen of
LaTeX
voor zekere LaTeX en LaTeX .
(Deze vraag is gesteld door Ray Steiner en opgelost door B. M. M. de Weger).
Het bijkt dat er geen oplossing is voor LaTeX .

#14

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 januari 2009 - 15:49

Je resultaat voor neg. fibonacci en de driehoek van Pascal vind ik wel aardig.
Zoals je zei is

LaTeX



Merk op dat 89 zelf ook een Fibonaccigetal is.
Nu zou je je kunnen afvragen of
LaTeX
voor zekere LaTeX en LaTeX .
(Deze vraag is gesteld door Ray Steiner en opgelost door B. M. M. de Weger).
Het bijkt dat er geen oplossing is voor LaTeX .


Dank hiervoor, Peterpan.

Weet jij toevallig of het ook bewezen is voor de alternerende versie ?

LaTeX

Dit is weliswaar geen Fibonacci getal, maar je zou kunnen zeggen dat het gelijk moet zijn aan LaTeX

Ook kunnen we het proberen voor de Neg. Fibonacci:

LaTeX

Aangezien deze reeks een "repeating groep" heeft van 6 elementen bestaande uit maar 3 cijfers LaTeX is het wellicht makkelijk te bewijzen dat:

LaTeX
voor zekere LaTeX en LaTeX .

P.S.
Ik weet vrijwel zeker dat het verband met de driehoek van Pascal werkt voor alle: LaTeX

(gewoon als startgetal in de top zetten, schuine lijnen +++ voor k>1 en -+- voor k<1, de driehoek heeft alleen maar nullen voor k=0).

#15

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 januari 2009 - 16:13

Dat is zeker! Ik wil haast niet weten hoeveel typwerk je daarin hebt gestoken. Ik hoop in ieder geval van harte dat al je wiskundige inspanningen ooit eens beloond mogen worden met een revolutionaire doorbraak.


Dank je, Klinterklaas. We blijven dromen van een doorbraak. :P Al was het maar een kleine kruimel die de grote wiskundigen hebben laten liggen.

Het typewerk viel reuze mee. Ik heb een tabel in LaTex gekopieerd van een andere site en daarna de kop en body veranderd. De rijen van de tabel lijken allemaal erg op elkaar. Sterker nog: hoe langer ik naar die Gulden Snede en Fibonacci reeks kijk, hoe minder bijzonder ze worden. Het blijkt me steeds meer dat het simpelweg bijzondere manifestaties van veel algemenere patronen... :D

P.S. (nog twee voorbeelden van een algemeen patroon)

1. Het blijkt dat ook de alternerende som van alle n Neg. Fibonacci getallen is het (n+2)-e Fibonacci getal min 1.

LaTeX

2. En ook dat de som van de n alternerende kwadraten van de Neg Fibonacci reeks is LaTeX :

LaTeX

Veranderd door Agno, 19 januari 2009 - 16:23






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Vacatures