[wiskunde] limieten

GrandFiesta

Het is alweer een tijd geleden dat ik met limieten heb gewerkt. Ze vragen of ik de limiet kan berekenen van

- an = (1 + 2/n)^n

Ik kom bij deze niet verder dan lim n>oneindig (1+(2/n))^n = L

ln L = lim n x ln (lim 1+(2/n))

= lim n x ln (1+0)

= lim n x ln (1) ............ ?

en an = ln(2n^2 + 1) - ln(n^2+1)....

alvast bedankt voor jullie hulp

TD

Ken je geen standaardlimiet die hier sterk op lijkt?

GrandFiesta

Toevallig had ik dat net gevonden, de standaardlimiet is (1 + x/n)^n = e^x, hierbij is dus de eerste opgelost alleen als ze vragen dat ik dit moet bewijzen, hoe moet het dan?

Bij de tweede kom ik er nog steeds niet precies uit, moet ik daar ook de standaarlimiet gebruiken of?

Bedankt!

Klintersaas

Toevallig had ik dat net gevonden, de standaardlimiet is (1 + x/n)^n = e^x, hierbij is dus de eerste opgelost alleen als ze vragen dat ik dit moet bewijzen, hoe moet het dan?

Bedoel je bewijzen dat

\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\)

Bij de tweede kom ik er nog steeds niet precies uit, moet ik daar ook de standaarlimiet gebruiken of?

Je hebt het verschil van twee logaritmen, dus dat is de logaritme van het quotiënt.

dirkwb

Toevallig had ik dat net gevonden, de standaardlimiet is (1 + x/n)^n = e^x, hierbij is dus de eerste opgelost alleen als ze vragen dat ik dit moet bewijzen, hoe moet het dan?

Schrijf het als een e-macht, herken een afgeleide in nul en maak gebruik van de continuiteit van limieten.

Klintersaas

Schrijf het als een e-macht, herken een afgeleide in nul en maak gebruik van de continuiteit van limieten.

Mogelijk begrijp ik niet precies waarop je doelt, maar kan het niet veel korter en eenvoudiger?

\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \lim_{n \to +\infty} \left(\left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{x}{n} \cdot n} = \lim_{n \to +\infty} \left(\left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{n}{x}}\right)^x = e^x\)

dirkwb

Klintersaas schreef:Mogelijk begrijp ik niet precies waarop je doelt, maar kan het niet veel korter en eenvoudiger?

\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \lim_{n \to +\infty} \left(\left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{x}{n} \cdot n} = \lim_{n \to +\infty} \left(\left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{n}{x}}\right)^x = e^x\)

Dit is geen bewijs, je maakt gebruik van een formule voor e^x. Volgens mij wil TS een bewijs voor de standaardlimiet.

Klintersaas

Een bewijs voor

\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\)

bedoel je? Dat was volgens mij niet wat er bedoeld werd, maar goed. Dan zou ik het eerst aantonen voor alle

\(n\ \in\ \nn_0\)

en vervolgens uitbreiden naar de reële getallen.

Verder is e gewoonweg gedefinieerd als zijnde

\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)

.

dirkwb

Een bewijs voor
\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\)
bedoel je? Dat was volgens mij niet wat er bedoeld werd, maar goed

Klopt, ik zie nu pas dat ik niet goed gelezen heb

Verder is e gewoonweg gedefinieerd als zijnde
\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)
.

Zie hier.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] limieten

[wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten