\( \hat{H} = B \hat{L}²_z + \epsilon ( cos²(\Phi) - 1/2 ) \)
Geef de 1e orde correcties op de laagste 2 energieniveau's van de eerste term waarbij de tweede term als de perturbatie geldt. Geef bij ontaarding ook de nieuwe eigentoestanden. Dus ik dacht: eerst zoeken we de energie eigenwaarden en de eigenfuncties van de ongestoorde hamiltoniaan. H0, L², en Lz commuteren. H0 is diagonaal in de basis | E, l, ml >
\( H_0 | E, l, ml > = B ( m\hbar )² | E, l, ml >\)
Dit zijn dus de energie eigenwaarden van de ongestoord hamiltoniaan.De laagste energieniveau's zijn voor ml = 0 en ml = +- 1. Dus |E,l,1> en |E,l, -1 > geven aanleiding tot dezelfde energie. het energieniveau
\(B \hbar ²\)
is dus tweevouding ontaard. Het energieniveau horende bij ml = 0 is niet ontaard. Dus om daar de eerste orde energiecorrectie op te bepalen moeten we gewoon iets uitrekenen van de vorm: \( < E, l , 0|\epsilon ( cos²(\Phi) - 1/2 ) |E,l,0> \)
-> Hoe moet ik dit nu uitrekenen? Ik ken de expliciete vorm van die eigenfuncties toch niet?
-> Hoe weet ik dat ik H0 in de basis | E,l,ml> moet bekijken? Zijn er geen andere mogelijkheden? Ik weet dat als H0 commuteert met L², Lz ( en zichzelf), dan wil dit zeggen dat H0, L², Lz een gemeenschappelijke orthonormale basis van eigenvectoren hebben die ze allemaal diagonaliseert. Met andere woorden. H0 is diagonaal in die gemeenschappelijke eigenbasis die ik | E, l, ml > heb genoemd. Correct? Maar hoe weet ik nu hoeveel ik er nodig heb? Ik bedoel: we hebben E, l, ml, moeten er nog meer zijn?
-> hoe bereken ik het ontaarde geval? Hiervoor moet ik de eigenwaarden berekenen van
\( V^{'}_{nu,ns} - E^{(1)}_{nr} \delta_{us}\)
hoe stel ik die matrix V' op? ( met \(H = H_0 + \lambda V' \)
en in dit geval \(\lambda V' = \epsilon ( cos²(\Phi) - 1/2 ) \)
en s,u= 1,2) Moet ik dan gewoon <E , l , 1| V' |E, l, 1 > , <E,l,-1|V'|E,l,-1> en <E,l,-1|V'|E,l,1> = <E,l,1|V'|E,l,-1> uitrekenen, die diagonaliseren en daarna de eigenvectoren zoeken om de nieuwe eigentoestanden te vinden ? Heb ik hier de expliciete uitdrukking voor | E, l, ml = +- 1> niet nodig? Iemand enig idee? Kan ik hier ergens de sferische harmonieken insteken? ( maar ik ken die l zelfs niet.. ) Of ben ik gewoon volledig verkeerd bezig?
Bedankt.
