[wiskunde] complexe notatie

Kabel

ik begrijp niet precies hoe deze omzetting gebeurd. Waar is de 'i' naartoe die normaal gesproken voor de sinus wordt geplaatst volgens: $Afbeelding$

alvast dank.

dirkwb

Waar is de 'i' naartoe die normaal gesproken voor de sinus wordt

De imaginaire delen hebben geen relevante betekenis.

Xenion

Ik durf het niet met zekerheid zeggen, maar volgens mij wordt die i gewoon weggelaten omdat die fysisch niks betekent.

Uitwerken geeft toch:

$m_1*e^{i t\sqrt{k^2 + 1}} + m_2*e^{-i t\sqrt{k^2 + 1}}=(m_1+m_2)*cos(t\sqrt{k^2 + 1}) + i(m_1-m_2)*sin(t\sqrt{k^2 + 1})$

Kabel

De imaginaire delen hebben geen relevante betekenis.

Uit de vgl van xenion betekent het dat?

$(m_1+m_2)=p_1$

en

$i(m_1-m_2)=p_2$

Terwijl m1,m2 complex zijn en er wordt gezegd dat p1 en p2 reeel zijn. Kan dat volgens bovenstaande?

Xenion

Kabel schreef:Uit de vgl van xenion betekent het dat?

$(m_1+m_2)=p_1$
en

$i(m_1-m_2)=p_2$

Terwijl m1,m2 complex zijn en er wordt gezegd dat p1 en p2 reeel zijn. Kan dat volgens bovenstaande?

Zoals ik al zei weet ik het zelf ook niet goed, maar wat ik hierboven uittypte is gewoon rechtstreekse toepassing van die formule van Euler. De complexe dingen voor de sinus en cosinus worden gewoon genegeerd en dan worden er reële constanten van gemaakt. Die kan je dan waarschijnlijk bepalen aan de hand van beginvoorwaarden van een vraagstuk.

BarryVos

Wat een vreemde bedoeling.

$T(t)=m_1*e^{i t\sqrt{k^2 + 1}} + m_2*e^{-i t\sqrt{k^2 + 1}}=(m_1+m_2)*cos(t\sqrt{k^2 + 1}) + i(m_1-m_2)*sin(t\sqrt{k^2 + 1})$

Als deze functie T reele, fysieke waarden moet geven, dan moet het imaginaire deel 0 zijn. Wordt er misschien wat meer verteld over de "fysische redenen"?

/edit

Ok, ik vind een soortgelijk verhaal in een van mn natuurkundeboeken. Eerst even eten.

Kabel

Het wordt als onderdeel van Fourier behandeld en betreft het vinden van functies u(x,t) van de vorm u(x,t)=X(x)T(t) die moeten voldoen aan een partiele diffvgl.(u_xx=u_tt+u voor 0<=x<=pi,t>=0) en ook aan randvoorwaarden(u(0,t)=u(pi,t)=0 voor t>=0)

BarryVos

Ah, ik moet eerst eens beter nadenken voordat ik wat zeg:p

Als m1 en m2 reele constanten zijn, dan klopt m'n verhaal nog wel: Het imaginaire deel is 0, dus m1=m2, zodat p1=2*m1 en p2=0. Maar m1 en m2 kunnen ook complex zijn.

$T(t)=m_1e^{i t\sqrt{k^2 + 1}} + m_2e^{-i t\sqrt{k^2 + 1}}$

T(t) is reeel, dus het moet gelijk zijn aan zijn complex geconjugeerde T*(t)

$T^*(t)=m_1^*e^{-i t\sqrt{k^2 + 1}} + m_2^*e^{i t\sqrt{k^2 + 1}}=T(t)$

Het is nu dus duidelijk dat m1 en m2 elkaars complex geconjugeerden zijn.

$T^*(t)=m_1^*e^{-i t\sqrt{k^2 + 1}} + m_1e^{i t\sqrt{k^2 + 1}}=T(t)$

Stel nu

$m_1=\frac{q_1}{2}e^{iq_2}$

zodat

$m_1^*=\frac{q_1}{2}e^{-iq_2}$

We kunnen T(t) dan uitdrukken als

$T^(t)=\frac{q_1}{2}e^{-i (t\sqrt{k^2 + 1}+q_2)} + \frac{q_1}{2}e^{i (t\sqrt{k^2 + 1}+q_2)}=T(t)$

Enig algebraisch gegoochel levert dan op dat

$T(t)=q_1cos(t\sqrt{k^2 + 1}+q_2)$

Met een trig. identiteit kunnen we dit omschrijven tot

$T(t)=q_1cos(t\sqrt{k^2 + 1})cos(q_2)-q_1sin(t\sqrt{k^2 + 1})sin(q_2)$

Als dan

$p_2=-\frac{q_1}{sin(q_2)}$

en

$p_1=\frac{q_1}{cos(q_2)}$

dan zien we inderdaad dat

$T(t)=p_1cos(t\sqrt{k^2 + 1})+p_2sin(t\sqrt{k^2 + 1})$

Ik hoop dat ik niet al te veel foutjes gemaakt heb:D En ik hoop dat het je een beetje helpt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] complexe notatie

[wiskunde] complexe notatie

Re: [wiskunde] complexe notatie

Re: [wiskunde] complexe notatie

Re: [wiskunde] complexe notatie

Re: [wiskunde] complexe notatie

Re: [wiskunde] complexe notatie

Re: [wiskunde] complexe notatie

Re: [wiskunde] complexe notatie