Norm lineaire operator

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 4.246

Norm lineaire operator

[attachment=3110:1.PNG]

Ik heb dit:
\( ||A||_2^2 \leq \frac{1}{2} \cdot ||f||_2^2 \)
dus
\( ||A|| \leq \sqrt{ \frac{1}{2} }\)


En hoe kies ik nu f0 zodat
\(\frac{||Af_0||}{||f_0||} \)
maximaal is?
Quitters never win and winners never quit.

Re: Norm lineaire operator

\( ||A||_2^2 < \frac{1}{2} \cdot ||f||_2^2\)
(tenzij f=0 b.o.).

Dus
\(\frac{||Af_0||}{||f_0||}\)
heeft geen maximum.

Wel een supremum.

Berichten: 4.246

Re: Norm lineaire operator

Wel een supremum.
Ok, hoe bepaal ik het supremum?
Quitters never win and winners never quit.

Re: Norm lineaire operator

Maak een rij functies
\(f_n\)
, waarvoor
\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||} = ||A||\)
.

Merk op dat
\(\frac{x}{2x+1} \approx \frac12\)
voor grote waarde van
\(x\)
.

Dus zou je kunnen kiezen voor
\(f_n\)
een indicator met drager voorbij
\(x=n\)
.

Berichten: 4.246

Re: Norm lineaire operator

PeterPan schreef:Maak een rij functies
\(f_n\)
, waarvoor
\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||} = ||A||\)
.

Merk op dat
\(\frac{x}{2x+1} \approx \frac12\)
voor grote waarde van
\(x\)
.

Dus zou je kunnen kiezen voor
\(f_n\)
een indicator met drager voorbij
\(x=n\)
.
Zoiets heb ik eerder in mijn dictaat gezien, maar ik snap niet waarom het iedere keer een indicatorfunctie is en ik snap ook niet hoe die rij eruit moet zien :D
Quitters never win and winners never quit.

Re: Norm lineaire operator

Neem
\(f_n(x) = 1_{[n,n+1)}(x)\ \mbox{d}x\)
.

Wat is dan
\(\int_0^{\infty}f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
en wat is
\( \int_0^{\infty}\frac{x^2}{(2x+1)^2} f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
en wat is dan
\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||}\)
.

Waarom een indicatorfunctie? Wel, omdat je dan een eindige simpele integraal hebt.

Berichten: 4.246

Re: Norm lineaire operator

PeterPan schreef:Neem
\(f_n(x) = 1_{[n,n+1)}(x)\ \mbox{d}x\)
.

Wat is dan
\(\int_0^{\infty}f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
\( \int_n^{n+1}\ 1^2\ \mbox{d}x =1 \)
en wat is
\( \int_0^{\infty}\frac{x^2}{(2x+1)^2} f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
Bedoel je dit:
\( \int_n^{n+1} \left( \frac{x}{2x+1} \right) ^2\ \mbox{d}x\)
?
Waarom een indicatorfunctie? Wel, omdat je dan een eindige simpele integraal hebt.
Maar vaak neemt mijn docent bij de indicatorfunctie [n,n+1], maar niet altijd, daarom raak ik verward.
Quitters never win and winners never quit.

Berichten: 4.246

Re: Norm lineaire operator

De opgave reuploaded:
1.PNG
1.PNG (15.45 KiB) 646 keer bekeken
Quitters never win and winners never quit.

Re: Norm lineaire operator

Bedoel je dit
\( \int_n^{n+1} \left( \frac{x}{2x+1} \right) ^2\ \mbox{d}x\)
?


Ja.

Je hoeft niet per se de indicatorfunctie
\(1_{[n,n+1]}\)
te nemen.

Je mag ook
\(1_{[\sqrt{n},\sqrt{n+1}]}\)
nemen.

Maar ik houd het liever zo eenvoudig mogelijk.

Reageer