Moderators: dirkwb , Xilvo
Berichten: 4.246
[attachment=3110:1.PNG]
Ik heb dit:
\( ||A||_2^2 \leq \frac{1}{2} \cdot ||f||_2^2 \)
dus
\( ||A|| \leq \sqrt{ \frac{1}{2} }\)
En hoe kies ik nu f
0 zodat
\(\frac{||Af_0||}{||f_0||} \)
maximaal is?
Quitters never win and winners never quit.
\( ||A||_2^2 < \frac{1}{2} \cdot ||f||_2^2\)
(tenzij f=0 b.o.).
Dus
\(\frac{||Af_0||}{||f_0||}\)
heeft geen maximum.
Wel een
supremum .
Berichten: 4.246
Wel een supremum .
Ok, hoe bepaal ik het supremum?
Quitters never win and winners never quit.
Maak een rij functies
\(f_n\)
, waarvoor
\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||} = ||A||\)
.
Merk op dat
\(\frac{x}{2x+1} \approx \frac12\)
voor grote waarde van
\(x\)
.
Dus zou je kunnen kiezen voor
\(f_n\)
een indicator met drager voorbij
\(x=n\)
.
Berichten: 4.246
PeterPan schreef: Maak een rij functies
\(f_n\)
, waarvoor
\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||} = ||A||\)
.
Merk op dat
\(\frac{x}{2x+1} \approx \frac12\)
voor grote waarde van
\(x\)
.
Dus zou je kunnen kiezen voor
\(f_n\)
een indicator met drager voorbij
\(x=n\)
.
Zoiets heb ik eerder in mijn dictaat gezien, maar ik snap niet waarom het iedere keer een indicatorfunctie is en ik snap ook niet hoe die rij eruit moet zien
Quitters never win and winners never quit.
Neem
\(f_n(x) = 1_{[n,n+1)}(x)\ \mbox{d}x\)
.
Wat is dan
\(\int_0^{\infty}f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
en wat is
\( \int_0^{\infty}\frac{x^2}{(2x+1)^2} f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
en wat is dan
\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||}\)
.
Waarom een indicatorfunctie? Wel, omdat je dan een
eindige simpele integraal hebt.
Berichten: 4.246
PeterPan schreef: Neem
\(f_n(x) = 1_{[n,n+1)}(x)\ \mbox{d}x\)
.
Wat is dan
\(\int_0^{\infty}f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
\( \int_n^{n+1}\ 1^2\ \mbox{d}x =1 \)
en wat is
\( \int_0^{\infty}\frac{x^2}{(2x+1)^2} f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)
Bedoel je dit:
\( \int_n^{n+1} \left( \frac{x}{2x+1} \right) ^2\ \mbox{d}x\)
?
Waarom een indicatorfunctie? Wel, omdat je dan een eindige simpele integraal hebt.
Maar vaak neemt mijn docent bij de indicatorfunctie [n,n+1], maar niet altijd, daarom raak ik verward.
Quitters never win and winners never quit.
Berichten: 4.246
De opgave reuploaded:
1.PNG (15.45 KiB) 646 keer bekeken
Quitters never win and winners never quit.
Bedoel je dit
\( \int_n^{n+1} \left( \frac{x}{2x+1} \right) ^2\ \mbox{d}x\)
?
Ja.
Je hoeft niet per se de indicatorfunctie
\(1_{[n,n+1]}\)
te nemen.
Je mag ook
\(1_{[\sqrt{n},\sqrt{n+1}]}\)
nemen.
Maar ik houd het liever zo eenvoudig mogelijk.