Springen naar inhoud

Sinus van pi*breuk


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2009 - 19:39

Ik vroeg me af of het mogelijk is om van elk getal van de vorm LaTeX met a en b gehele getallen (b niet nul) de sinus (en cosinus en tangens) te schrijven met behulp van getallen en wortels (zoals dus bijvoorbeeld LaTeX ) en indien dit niet het geval is, wanneer dan wel?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2009 - 20:30

Nog even ter aanvulling: de vraag is dus of LaTeX algebraÔsch is of wanneer dat zo is. Per uitbreiding ook de omgekeerde vraag: voor welke x is sin(x) algebraÔsch?

#3

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 januari 2009 - 21:20

Since the trigonometric functions are rational functions of the exponential function, they also are transcendental functions. However, we show that the circular trigonometric functions of rational multiples of pi are algebraic numbers, as long as the denominator is either a non-negative power of two or three times a non-negative power of two and the numerator is an integer.

Bron: http://www.rism.com/Trig/values.htm

This confirms that for r rational, trigonometric functions of LaTeX

are always algebraic numbers.

Bron: http://mathworld.wol...etryAngles.html

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#4

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2009 - 23:38

Ok, geldt dus zonder voorwaarden voor ieder rationaal getal. Dat ga ik eens beter bekijken (maar nu niet meteen, ergens in de toekomst). En omgekeerd? Als sin(x) een algebraÔsch getal is, moet x dan van die vorm, een rationaal veelvoud van LaTeX , zijn? Daar lijkt de tekst niets over te zeggen.

#5

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2009 - 23:58

Mja, ik zie nog niet hoe je dan concreet de sinus of cosinus uitrekent (zoals bijvoorbeeld in het gegeven geval van LaTeX ) of tenminste van welke polynoom we een wortel zoeken. Maar ik ga het later nog eens bekijken en dan kom ik er hopelijk wel uit.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 januari 2009 - 15:06

Ok, geldt dus zonder voorwaarden voor ieder rationaal getal. Dat ga ik eens beter bekijken (maar nu niet meteen, ergens in de toekomst).

Dat klopt niet. LaTeX met LaTeX (en ggd(a,b)=1) is alleen als radicaal ("met wortels enzo") te schrijven als b een product van nul of meer verschillende Fermat-priemgetallen maal een macht van 2 is.

De enige bekende Fermat-priemgetallen zijn: 3, 5, 17, 257 en 65537. Dus b mag zijn:
1 (20)
2 (21)
3
4 (22)
5
6 (3 :P 21)
8 (23)
10 (5 :P 21)
12 (3 :D 22)
15 (3 :P 5)
enz.

Dus bijvoorbeeld LaTeX of LaTeX zijn niet met wortels te schrijven.

Veranderd door Rogier, 22 januari 2009 - 15:06

In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 januari 2009 - 15:37

Ik begreep de tekst idd al niet zo goed. Mijn vraag was dus eigenlijk verkeerd. Niet elk algebraÔsch getal kan je schrijven als 'radicaal' (dit is dus het woord voor een combinatie van bewerkingen, wortels en getallen en zo?). M.a.w. niet elk nulpunt van een veelterm met coeffn rationale getallen kan je als radicaal schrijven. LaTeX is wel altijd een algebraÔsch getal, maar niet altijd als radicaal te schrijven. Klopt dit?

Veranderd door kee, 22 januari 2009 - 15:39


#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 januari 2009 - 15:51

Niet elk algebraÔsch getal kan je schrijven als 'radicaal' (dit is dus het woord voor een combinatie van bewerkingen, wortels en getallen en zo?).

Uhm, jawel, een algebraÔsch getal is het nulpunt van een veelterm, en dan is het een combinatie van wortels en basisbewerkingen. 'Radicaal' slaat vooral op de wortelnotatie (er zijn trouwens ook andere begrippen met de naam 'radicaal'), maar in deze context kun je zeggen dat algebraÔsche getallen en radicalen hetzelfde zijn.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 januari 2009 - 16:20

Oeps Rogier, dan snap ik het toch niet. Hoe verklaar je dan de tekst op Mathworld die Klintersaas gegeven heeft?

En verder: in die tekst staat ook een tabel van sinus, cosinus en tangens van een aantal waarden als 'radicaal' geschreven. Daar zie ik alleen maar vierkantswortels gebruikt. Is dit toeval of niet?

Veranderd door kee, 22 januari 2009 - 16:25


#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 januari 2009 - 16:38

Bedoel je die zin "Analytic expressions for trigonometric functions with arguments of this form can be obtained (...) for values of n :D 7" ?
Daarmee bedoelen ze alleen de waarden n :P 7 waarvoor zo'n radicale uitdrukking uberhaupt bestaat, lijkt me.

En nee, het is geen toeval dat er alleen vierkantswortels staan. Heeft te maken met dat die sinus van pi*breuk meetkundig construeerbare getallen zijn, en dat is een kleinere verzameling dan algebraÔsche getallen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 januari 2009 - 17:11

Ik bedoel

In general, any trigonometric function can be expressed in radicals for arguments of the form LaTeX , where LaTeX is a rational number,

en alles dat daarop volgt (men haalt dan voorbeelden aan, namelijk kubische vergelijking in LaTeX en LaTeX ).

O ja er staat trouwens "expressed in radicals", dus radicalen zijn dan toch hetzelfde als algebraÔsche getallen, maar niet hetzelfde als de getallen die men in het begin bedoelde. In het begin heeft men het namelijk over uitdrukken "in terms of finite root extraction of real numbers", hoewel ik dan ook niet begrijp waarom daar "real numbers" en niet "rational numbers" staat. In het begin staat trouwens ook "values of m which are precisely those which produce constructible polygons". Moet die m ook geen n zijn dan?

Veranderd door kee, 22 januari 2009 - 17:17


#12

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 januari 2009 - 18:32

Dat klopt niet. LaTeX

met LaTeX (en ggd(a,b)=1) is alleen als radicaal ("met wortels enzo") te schrijven als b een product van nul of meer verschillende Fermat-priemgetallen maal een macht van 2 is.

Dat klopt. Dit heeft te maken met de vraag voor welke waarde(n) van n het mogelijk is om met passer en liniaal de constructie van een regelmatige n-hoek uit te voeren. Gauss wist in 1796, toen hij pas 19 was, aan te tonen dat het mogelijk is om met passer en liniaal de constructie van een regelmatige 17-hoek uit te voeren. 17 is een van deze Fermat-priemgetallen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#13

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2009 - 12:53

Ik vind het nog steeds verwarrend :D , zie mijn vorige post.

#14

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 januari 2009 - 14:57

Ik bedoel

In general, any trigonometric function can be expressed in radicals for arguments of the form LaTeX

, where LaTeX is a rational number,

Ja, maar daar gebruiken ze wel complexe wortels.

Uit het voorbeeld kun je bijvoorbeeld afleiden dat LaTeX met LaTeX , dus als je dat verstaat onder "met behulp van getallen en wortels" (en -1 is een prima rationaal getal), dan kan het dus. En dan LaTeX = LaTeX ook.

Maar LaTeX is wel een complex (en niet-construeerbaar) getal, al is de uitdrukking in zijn geheel natuurlijk wel gewoon reŽel (want gelijk aan LaTeX ).

O ja er staat trouwens "expressed in radicals", dus radicalen zijn dan toch hetzelfde als algebraÔsche getallen, maar niet hetzelfde als de getallen die men in het begin bedoelde. In het begin heeft men het namelijk over uitdrukken "in terms of finite root extraction of real numbers", hoewel ik dan ook niet begrijp waarom daar "real numbers" en niet "rational numbers" staat.

Lijkt mij ook dat dat rational numbers moet zijn.

In het begin staat trouwens ook "values of m which are precisely those which produce constructible polygons". Moet die m ook geen n zijn dan?

Inderdaad, dat moet n (de noemer) zijn.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#15

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2009 - 17:29

Dank je Rogier, ik dacht al: ben ik nu echt zo dom. Die laatste dingen lijken dus opgelost. Hoewel ik nu begin te denken dat men met die "real numbers" mss juist doelt op het verschil waar het hier om gaat tov "complexe getallen". Alleen snap ik dat aspect nog steeds niet echt. Je zegt dat LaTeX bvb te schrijven is "met behulp van getallen en wortels" als je "complexe wortels" gebruikt, en dat het uiteindelijke resultaat toch reŽel is. Nu wat is er zo complex aan LaTeX ? Men schrijft daar in het artikel bvb ook LaTeX , maar is het eerste niet gewoon -1 en het tweede 1. Het lijkt dat ik hier heel dom denk, want dat zullen Mathworld en jij wel niet bedoelen, maar kan je dat eens uitleggen. En klopt de claim dan formeel toch dat de sinus van LaTeX maal een rationaal getal algebraÔsch is voor elk rationaal getal (met dus de officiŽle definitie van algebraÔsch getal).

Veranderd door kee, 23 januari 2009 - 17:32






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures