Vraag naar vermoedens / bewijzen rond priemgetallen

kee

Wat priemgetallen betreft vind ik het interessant om volgende rij te bekijken:

De rij (x_n) met x_n het kleinste natuurlijk getal zodat voor oneindig veel natuurlijke getallen x geldt dat [x,x+x_n[ minstens of precies (dat komt op hetzelfde neer) n priemgetallen telt.

Dus

x₁=1

x₂=3, het priemtweelingen-vermoeden

En verder mss

x₃=7

x₄=9

x₅=13

Nu kan je je ook nog afvragen

1) Of x_n wel bestaat voor elke n. Is hier iets rond geformuleerd of bewezen?

2) Het vermoeden dat dit samenhangt met bvb de zeef van Eratosthenes; Mij lijkt het namelijk mogelijk dat als in elke stap van de zeef van Eratosthenes oneindig veel keer een bepaald patroon van priemgetallen en gaps (met patroon bedoel ik bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_quadruplet) voorkomt, dat dit dan ook oneindig veel keer voorkomt in de priemgetallenrij. Is daar eventueel een vermoeden voor of een tegenvoorbeeld voor bewezen?

3) Patronen die beginnen met het priemgetal 5 lijken te blijven voorkomen. Is daar al ergens een tegenvoorbeeld voor bewezen van een patroon beginnende met het priemgetal 5 dat niet oneindig veel keer voorkomt in de priemgetallenrij? Anders zou de rij (x_n) wel eens gewoon de rij van de priemgetallen vanaf 5, vermindert met 4 kunnen zijn, hoewel dat ook als dit waar zou zijn nog niet het geval hoeft te zijn. Alhoewel dit ook nog eens een vermoeden zou kunnen zijn, dat dan bijvoorbeeld ook zou inhouden dat overal waar bijvoorbeeld het patroon 5,7,11,13,17,19,23 (maar dan vanaf een ander priemgetal begonnen) voorkomt, dit eerst voorafgegaan wordt door een gap van minstens 5. Nou ja, je kan zo blijven doorgaan met vermoedens.

Zijn hieruit dingen bewezen of geformuleerd als vermoeden of zijn er eventueel nog andere gerelateerde dingen bewezen of geformuleerd als vermoeden?

kee

Niemand die weet of hier iets over geschreven / bewezen is en waar het te vinden is?

Vooral dat er een verband is met de zeef van Eratosthenes is iets wat ik vermoed. Dan zou je bijvoorbeeld vermoedens voor de rij

\((x_n)\)

kunnen opstellen omdat de zwakkere voorwaarde dat een patroon in iedere stap van de zeef oneindig veel keer moet voorkomen gemakkelijker aan te tonen is dan voor de priemgetallenrij (waarvoor er eigenlijk nog niets aangetoond is, naast dan dat er oneindig veel priemgetallen zijn). Ik vraag me dan ook af of iemand al een hoop werk in die richting gedaan zou hebben.

woodswolf

Ik heb geen idee, van priemgetallen is ook niet veel bekend. Je kunt het hoogstens proberen op wikipedia, maar vaak is dat verouderde data.

Zelf ben ik erachter gekomen dat:

je kunt X! niet delen door priemgetallen tussen X en X!, maar bij lagere getallen geld dit ook voor vele niet-priem getallen. Dus te groter X des te meer niet-priemgetallen je kunt delen uit X!.

Vermoeden:

Als X = Oneindig dan is X! alleen te delen door niet priemgetallen tussen X en X!.

Maar dan ben je weer bezig met oneindigheden... toch moet daar iets mee gedaan worden

JVV

of deze:

elk priemgetal van de vorm 4n+1 is een som van twee kwadraten, zoals 13 = 9+4, 37 = 36+1, 41 = 25+16

en dat die van de vorm 4n-1 nooit zo zijn te schrijven.

of deze:

Verder is er een directe relatie tussen (even) perfecte getallen en Mersenne priemgetallen. Bewezen door Euclid en Euler.

Een mersenne priemgetal (2^m-1) heeft zelf weer de mooie eigenschap dat de macht m altijd een priemgetal is.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vraag naar vermoedens / bewijzen rond priemgetallen

Vraag naar vermoedens / bewijzen rond priemgetallen

Re: Vraag naar vermoedens / bewijzen rond priemgetallen

Re: Vraag naar vermoedens / bewijzen rond priemgetallen

Re: Vraag naar vermoedens / bewijzen rond priemgetallen