Springen naar inhoud

Orde in een eindig veld


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2009 - 01:17

Omdat het al een tijd geleden is dat ik nog echt bezig was met getaltheorie (en ik geen cursus bij me heb) vraag ik hier naar het bewijs van het volgende. Ik denk dat het niet moeilijk is maar getaltheorie en algebra zit te ver voor mij om het zelf te vinden en iemand die er thuis in is kan het mss aangeven.

Ik wil bewijzen dat de orde van het getal LaTeX in het eindig veld met LaTeX elementen (heet dit zo?, met orde bedoel ik de "multiplicatieve orde", ik weet de terminologie niet meer zo goed, hopelijk begrijp je mij) gelijk is aan LaTeX , wat dus het aantal elementen is van de groep van de eenheden waartoe ook 2 behoort, en dus geen kleinere deler ervan, en dit voor elk natuurlijk getal LaTeX niet nul.

De reden is omdat ik nu even bezig was met het bekende 3x+1 probleem en ik denk dat je hiermee dat probleem zou moeten kunnen bewijzen.

Sorry voor de eventueel verwarrende formulering; ik ben hier niet meer zo thuis in.

Veranderd door kee, 23 januari 2009 - 01:30


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2009 - 10:23

Vraag anders gesteld. Zij n een natuurlijk getal niet nul. Er geldt dat LaTeX . Mijn vraag is om aan te tonen dat er geen lagere macht k groter dan nul is zodat LaTeX .

Veranderd door kee, 23 januari 2009 - 10:24


#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 24 januari 2009 - 09:06

Je beweert dat 2 een primitieve wortel is modulo elke macht van 3.
Dat zou heel goed kunnen.
Elke macht van 3 bezit een primitieve wortel.
Of 2 altijd voldoet als primitieve wortel is mij niet bekend.
Je zou er literatuuronderzoek naar moeten doen.

#4

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 januari 2009 - 09:25

Ok, ik ga volgende week eens zoeken in de literatuur. Ik dacht dat het probleem niet zo moeilijk zou zijn, zeker met al die superwiskundigen hier, maar als jij het al niet zo meteen weet... dan moet het toch wel moeilijk zijn.

Veranderd door kee, 24 januari 2009 - 09:26


#5

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2540 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 januari 2009 - 13:26

Wellicht is het een idee om hier eens te kijken: http://nl.wikipedia..../Galois_lichaam
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#6

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2009 - 20:20

Mijn eerste formulering van deze vraag was niet slim, ik weet het dan zoals gezegd niet allemaal meer goed. Het veld met LaTeX elementen is iets heel anders. Dit is geen veld.

Ik ben nu aan het werken op de formulering in de tweede post van mij die wel is wat ik bedoel. Ik wil het doen per inductie op n. Dat lijkt vrij goed te werken (hoewel het wat lang is om hier te plaatsen), maar ik zit (alleen) nog met volgend probleem.

Als je een vergelijking zoals LaTeX bekijkt met p een priemgetal, dan heeft deze twee oplossingen (1 en -1) omdat we dit als een vergelijking in een veld met p elementen kunnen zien. Voor LaTeX geldt hetzelfde: hoogstens 3 oplossingen. Ik ga ervan uit dat ik het hier nog juist heb?

Nu bekijk ik echter deze vergelijkingen modulo LaTeX . De ring waarin we dan werken is geen veld meer. Mijn vraag is of nog steeds geldt dat in het eerste geval 1 en -1 de enige oplossingen zijn en in het tweede geval er niet meer dan 3 oplossingen zijn. In dat geval is het probleem (positief) opgelost.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2009 - 11:13

Mogelijk heb je iets aan het lemma van Hensel.
Nu is dat een zeer ingewikkelde stelling over m-adische volledige locale ringen (m maximaal ideaal), maar de lifting truc zou je miscchien kunnen gebruiken.
Zomaar zoeken op dat lemma het internet heeft niet zo veel zin, omdat er zeer veel formulerinigen zijn van dat lemma.
Uitleg volgt nog.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2009 - 12:07

Gegeven is een monische veelterm met gehele coëfficienten LaTeX .
Stel dat er een natuurlijk getal LaTeX bestaat zo dat LaTeX deelbaar is door priemgetal LaTeX en LaTeX niet deelbaar is door LaTeX ,
dan kunnen we een rijtje LaTeX maken zo dat LaTeX deelbaar is door LaTeX voor elke LaTeX .

Neem LaTeX .
Stel (inductie) dat we reeds weten dat LaTeX deelbaar is door LaTeX voor zekere LaTeX .
Dan is (eerste orde Taylorreeksontwikkeling)
LaTeX voor elke LaTeX .
Ik wil nu LaTeX zo kiezen dat het rechter lid 0 is. Dan neem ik LaTeX .

Die LaTeX vinden we als volgt:
Het is duidelijk dat LaTeX
Dan is LaTeX .
Dan is er een LaTeX zo dat LaTeX
Nu kunnen we LaTeX zo kiezen dat LaTeX en dus dat LaTeX .

Neem in jouw geval LaTeX en als veelterm LaTeX .





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures