Springen naar inhoud

[wiskunde] exponentiŽle functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 januari 2009 - 14:57

Een kapitaal k euro wordt belegd tegen p % per jaar samengestelde interest. Elk jaar groeit het kapitaal dus aan met p % van zijn waarde bij het begin van dat jaar. De slotwaarde, dit is het kapitaal plus de totale interest, wordt voorgesteld als K euro.Ik vind het nogal een vreemde vraag, maar goed. Mijn eerste idee was een bewijs door volledige inductie, maar het is al lang geleden sinds ik die bewijstechniek voor het laatst gebruikte. Ik begon als volgt:

Bewijs (door volledige inductie)

We bewijzen de stelling voor t=1:

LaTeX

Dat dit klopt is uiteraard evident, maar ik weet niet hoe ik dat goed wiskundig verantwoord kan formuleren.

De stelling geldt dus voor zekere t. Nu bewijzen we dat de stelling geldt voor t+1:

LaTeX

Maar hoe moet het nu verder? Ik zei al dat inductie lang geleden was.

Iemand een idee of een andere bewijsmethode?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 januari 2009 - 15:14

Wat vind je vreemd aan de vraag? Merk overigens op dat de formule ook geldt voor niet-gehele aantallen jaren, en dan is inductie niet voldoende.

Maar als we er even vanuit gaan dat je het alleen voor gehele jaren hoeft te bewijzen, dan ben je er bijna.

Als je op enig moment een bedrag x op de bank hebt, en je krijgt dat jaar p % rente, hoeveel heb je dan het jaar daarop? Als je dat uitdrukt met die (1+i) notatie is je inductie stap al ongeveer rond.

Veranderd door Rogier, 24 januari 2009 - 15:14

In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2009 - 13:54

Wat vind je vreemd aan de vraag?

Het feit dat bewezen dient te worden dat die formule een model geeft voor een praktisch probleem. Ik ben gewend dat bewijzen eerder theoretisch zijn.

Merk overigens op dat de formule ook geldt voor niet-gehele aantallen jaren, en dan is inductie niet voldoende.

Ik ben erg benieuwd naar een alternatief bewijs dat ook niet-gehele jaartallen meeneemt.

Als je op enig moment een bedrag x op de bank hebt, en je krijgt dat jaar p % rente, hoeveel heb je dan het jaar daarop? Als je dat uitdrukt met die (1+i) notatie is je inductie stap al ongeveer rond.

Bedoel je dan het volgende?

LaTeX

Ik noem LaTeX even LaTeX en volgens de inductiehypothese is dit het kapitaal na t jaar.

LaTeX

En dat klopt!

Is dit bewijs wel sluitend?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#4

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2456 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2009 - 14:29

Merk op dat je hier te maken hebt met een exponentiŽle groeifunctie van de vorm LaTeX met y = K, b = k en LaTeX . Je hebt in dit geval te maken met de formule voor samengestelde interest, waarbij p het jaarpercentage, t het aantal jaar en LaTeX het perunage voorstelt. Overigens is het in de financiŽle rekenkunde gebruikelijk om het aantal perioden met n aan te geven. Je hebt hier overigens geen bewwijs door inductie nodig. Je kunt namelijk als volgt redeneren: ieder jaar groeit een bedrag dat is uitgezet op samengestelde interest aan met een vast percentage p, waarbij sprake is van een exponentieel groeiproces met groeifactor LaTeX .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#5

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2009 - 14:32

Je hebt hier overigens geen bewwijs door inductie nodig. Je kunt namelijk als volgt redeneren: ieder jaar groeit een bedrag dat is uitgezet op samengestelde interest aan met een vast percentage p, waarbij sprake is van een exponentieel groeiproces met groeifactor LaTeX

.

Dat is dan ook volstrekt logisch, maar dat lijkt me geen bewijs.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#6

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2456 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2009 - 16:09

Dat is dan ook volstrekt logisch, maar dat lijkt me geen bewijs.

Dat bewijs is nogal gauw gevonden. Als je met een kapitaal k begint heb je na 1 jaar een kapitaal k(1+i). Na weer een jaar heb je een kapitaal LaTeX . Per jaar wordt je kapitaal dus (1+i) maal zo groot, dus dat betekent dat je na t jaar een kapitaal LaTeX hebt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 januari 2009 - 17:26

Dat is dan ook volstrekt logisch, maar dat lijkt me geen bewijs.

Jawel, dat is juist een bewijs waarbij de uitleg in post 6 de achtergrond is.

Veranderd door dirkwb, 25 januari 2009 - 17:27

Quitters never win and winners never quit.

#8

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2456 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2009 - 17:47

Even een correctie met betrekking tot mijn vorige post: de juiste formule is
LaTeX .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#9

*_gast_Polo_*

  • Gast

Geplaatst op 20 februari 2009 - 03:16

formule voor eindwaarde van een kapitaal

Bij eenmalige inleg:
----------n
K . (1+i)

formule voor eindwaarde van postnumerando rente

Inleg elk jaar vast bedrag
--------------------n
EW = T . {(1 + i ) -1} / i

EW = eindwaarde
T = termijnbedrag
i = perunage
n = aantal termijnen

De n wil niet blijven staan vandaar de streepjes ik krijg die niet op de zelfde regel hoog alszijnde een macht

Gr Polo

Veranderd door Polo, 20 februari 2009 - 03:30


#10

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2009 - 17:09

De n wil niet blijven staan vandaar de streepjes ik krijg die niet op de zelfde regel hoog alszijnde een macht

Gebruik superscript (te vinden onder de knop aA):

K (1+i)n

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures