[wiskunde] exponentiële functies

Klintersaas

Een kapitaal k euro wordt belegd tegen p % per jaar samengestelde interest. Elk jaar groeit het kapitaal dus aan met p % van zijn waarde bij het begin van dat jaar. De slotwaarde, dit is het kapitaal plus de totale interest, wordt voorgesteld als K euro.

Bewijs:
\(K = k \cdot (1 + i)^t\)
t is de tijd gemeten in jaar en i = 0,01p.

[/i]Ik vind het nogal een vreemde vraag, maar goed. Mijn eerste idee was een bewijs door volledige inductie, maar het is al lang geleden sinds ik die bewijstechniek voor het laatst gebruikte. Ik begon als volgt:

Bewijs (door volledige inductie)

We bewijzen de stelling voor t=1:

\(K = k \cdot (1 + i)^1 = k \cdot (1 + i) = k + ki\)

Dat dit klopt is uiteraard evident, maar ik weet niet hoe ik dat goed wiskundig verantwoord kan formuleren.

De stelling geldt dus voor zekere t. Nu bewijzen we dat de stelling geldt voor t+1:

\(K = k \cdot (1 + i)^{t+1} = k \cdot (1 + i)^t \cdot (1 + i)\)

Maar hoe moet het nu verder? Ik zei al dat inductie lang geleden was.

Iemand een idee of een andere bewijsmethode?

Rogier

Wat vind je vreemd aan de vraag? Merk overigens op dat de formule ook geldt voor niet-gehele aantallen jaren, en dan is inductie niet voldoende.

Maar als we er even vanuit gaan dat je het alleen voor gehele jaren hoeft te bewijzen, dan ben je er bijna.

Als je op enig moment een bedrag x op de bank hebt, en je krijgt dat jaar p % rente, hoeveel heb je dan het jaar daarop? Als je dat uitdrukt met die (1+i) notatie is je inductie stap al ongeveer rond.

Klintersaas

Wat vind je vreemd aan de vraag?

Het feit dat bewezen dient te worden dat die formule een model geeft voor een praktisch probleem. Ik ben gewend dat bewijzen eerder theoretisch zijn.

Merk overigens op dat de formule ook geldt voor niet-gehele aantallen jaren, en dan is inductie niet voldoende.

Ik ben erg benieuwd naar een alternatief bewijs dat ook niet-gehele jaartallen meeneemt.

Als je op enig moment een bedrag x op de bank hebt, en je krijgt dat jaar p % rente, hoeveel heb je dan het jaar daarop? Als je dat uitdrukt met die (1+i) notatie is je inductie stap al ongeveer rond.

Bedoel je dan het volgende?

\(K = k \cdot (1 + i)^{t+1} = k \cdot (1 + i)^t \cdot (1 + i)\)

Ik noem

\(k \cdot (1 + i)^t\)

even

\(K_t\)

en volgens de inductiehypothese is dit het kapitaal na t jaar.

\(K = K_t \cdot (1 + i) = K_t + K_ti\)

En dat klopt!

Is dit bewijs wel sluitend?

mathfreak

Merk op dat je hier te maken hebt met een exponentiële groeifunctie van de vorm

\(y=bg^t\)

met y = K, b = k en

\(g=1+i=1+\frac{p}{100}\)

. Je hebt in dit geval te maken met de formule voor samengestelde interest, waarbij p het jaarpercentage, t het aantal jaar en

\(i=\frac{p}{100}\)

het perunage voorstelt. Overigens is het in de financiële rekenkunde gebruikelijk om het aantal perioden met n aan te geven. Je hebt hier overigens geen bewwijs door inductie nodig. Je kunt namelijk als volgt redeneren: ieder jaar groeit een bedrag dat is uitgezet op samengestelde interest aan met een vast percentage p, waarbij sprake is van een exponentieel groeiproces met groeifactor

\(1+i=1+\frac{p}{100}\)

.

Klintersaas

Je hebt hier overigens geen bewwijs door inductie nodig. Je kunt namelijk als volgt redeneren: ieder jaar groeit een bedrag dat is uitgezet op samengestelde interest aan met een vast percentage p, waarbij sprake is van een exponentieel groeiproces met groeifactor
\(1+i=1+\frac{p}{100}\)
.

Dat is dan ook volstrekt logisch, maar dat lijkt me geen bewijs.

mathfreak

Dat is dan ook volstrekt logisch, maar dat lijkt me geen bewijs.

Dat bewijs is nogal gauw gevonden. Als je met een kapitaal k begint heb je na 1 jaar een kapitaal k(1+i). Na weer een jaar heb je een kapitaal

\(k(1+i)(1+i)=k(1+i)^2\)

. Per jaar wordt je kapitaal dus (1+i) maal zo groot, dus dat betekent dat je na t jaar een kapitaal

\(k\prod_{j=1}^t(1+i)^j=k(1+i)^t\)

hebt.

dirkwb

Dat is dan ook volstrekt logisch, maar dat lijkt me geen bewijs.

Jawel, dat is juist een bewijs waarbij de uitleg in post 6 de achtergrond is.

mathfreak

Even een correctie met betrekking tot mijn vorige post: de juiste formule is

\(k\prod_{j=1}^t(1+i)=k(1+i)^t\)

.

Polo

formule voor eindwaarde van een kapitaal

Bij eenmalige inleg:

----------n

K . (1+i)

formule voor eindwaarde van postnumerando rente

Inleg elk jaar vast bedrag

--------------------n

EW = T . {(1 + i ) -1} / i

EW = eindwaarde

T = termijnbedrag

i = perunage

n = aantal termijnen

De n wil niet blijven staan vandaar de streepjes ik krijg die niet op de zelfde regel hoog alszijnde een macht

Gr Polo

Klintersaas

De n wil niet blijven staan vandaar de streepjes ik krijg die niet op de zelfde regel hoog alszijnde een macht

Gebruik superscript (te vinden onder de knop aA):

K · (1+i)ⁿ

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] exponentiële functies

[wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti

Re: [wiskunde] exponenti