[wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 8.614
[wiskunde] goniometrische vergelijkingen
De goniometrische vergelijking
\(\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1\)
loste ik als volgt op:\(\begin{array}{lrr}\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1 && \\&& (1) \\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \cot^2(x) \\&& (2) \\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \tan^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) \\&& (3) \\\Leftrightarrow \tan(2x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) \\&& (4) \\\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} - x + k\pi \\&& (5) \\\Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\&& (6)\\\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}\end{array}V = \left\{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}\right\}\ \mbox{met}\ k\ \in\ \zz\)
Ik ben echter niet zeker dat ik alle oplossingen te pakken heb. Vooral overgang (3) lijkt in mijn ogen dubieus. Goed mogelijk dat het vals alarm is, maar toch...Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Drie is inderdaad dubieus. Volgt uit a² = b² enkel a = b? In dit geval verloor je er echter geen oplossingen door.
Er is nog een dubieuze stap...
Er is nog een dubieuze stap...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 10.179
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
EDIT: TD was me voor
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Ik weet dat ik daarmee geen oplossing verloor, daarom heb ik het ook verkort opgeschreven. Mijn notatie was misschien niet helemaal correct. Beter lijkt me:Drie is inderdaad dubieus. Volgt uit a² = b² enkel a = b? In dit geval verloor je er echter geen oplossingen door.
\(\begin{array}{lclr}\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1 \\&&& (1) &\\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \cot^2(x) \\&&& (2) &\\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \tan^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) \\&&& (3) &\\\Leftrightarrow \tan(2x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) & \mbox{of} & \tan(2x) = -\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right)\\&&& (4) &\\\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} - x + k\pi & \mbox{of} & 2x = -\dfrac{\pi}{2} + x + k\pi\\&&& (5) &\\\Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi & \mbox{of} & x = -\dfrac{\pi}{2} + k\pi\\&&& (6) &\\\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} & \mbox{of} & x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\\\end{array}\)
, wat betekent dat \(\tan^2(x) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0\)
? Dat had ik er misschien ook bij moeten vermelden.Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Het gaat me niet echt om het vermelden, maar wel om de gevolgen - je hebt hierdoor namelijk oplossingen ingevoerd die er geen zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Je hebt dus niet te weinig, maar te veel oplossingen te pakken
Maar: je vermenigvuldigt beide leden met cot²(x), dus cot(x) mag niet 0 zijn, dus x mag niet...
Opmerking tussendoor: tan(x) wordt 0 voor meer waarden van x dan alleen x=0.EDIT: Bedoel je stap (1), waar ik beide leden deel door\(\tan^2(x)\), wat betekent dat\(\tan^2(x) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0\)? Dat had ik er misschien ook bij moeten vermelden.
Maar: je vermenigvuldigt beide leden met cot²(x), dus cot(x) mag niet 0 zijn, dus x mag niet...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Natuurlijk! Helemaal over het hoofd gezien. Ik hield er geen rekening mee dat ook de bestaansvoorwaarde voor meer dan één hoek opging. De correcte bestaansvoorwaarde is dusHet gaat me niet echt om het vermelden, maar wel om de gevolgen - je hebt hierdoor namelijk oplossingen ingevoerd die er geen zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Je hebt dus niet te weinig, maar te veel oplossingen te pakken
\(x \neq \frac{k\pi}{2}\)
.Ik moet dus alle veelvouden van
\(\frac{\pi}{2}\)
uit de oplossingenverzameling wegzuiveren. Die wordt dan \(V = \left\{\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\right\} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\} \mbox{met}\ k \in \zz\)
.Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Niet helemaal, zo is er voor x = 0 (neem k = 0) bijvoorbeeld geen probleem. De cotangens wordt 0 voor pi/2 + k.pi.De correcte bestaansvoorwaarde is dus\(x \neq \frac{k\pi}{2}\).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Hoezo geen probleem? Voor x = 0 bestaat de cotangens toch niet en het lijkt me vervelend om beide leden van een vergelijking te vermenigvuldigen met iets dat niet bestaat.Niet helemaal, zo is er voor x = 0 (neem k = 0) bijvoorbeeld geen probleem. De cotangens wordt 0 voor pi/2 + k.pi.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Waarom niet:Klintersaas schreef:De goniometrische vergelijking\(\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1\)loste ik als volgt op:
\(\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1\)
\((\tan(2x) \cdot \tan(x))^2 = 1\)
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Waarom sluit je dan k.pi/2 uit? Ik denk dat je daarmee doelt op de punten waar cot(x) net 0 wordt en dat is pi/2+k.pi, iets anders dan k.pi/2. In punten x = k.pi bestaat cot(x) niet; in de oorspronkelijke vergelijking kan je x = 0 zonder probleem invullen, maar het zal geen oplossing zijn.Hoezo geen probleem? Voor x = 0 bestaat de cotangens toch niet en het lijkt me vervelend om beide leden van een vergelijking te vermenigvuldigen met iets dat niet bestaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 10.179
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen
Toch eventjes opmerken Eerst zegt Klintersaas idd
\(k \frac{ \pi }{2}\)
, maar in de oplossingsverzameling V schrijft ie het wél juist Mss had je dat al door, maar wou het toch even opmerken.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.