Dit is een partiële differentiaalvergelijking.
\(x\)
hangt van
\(t\)
en van
\(y\)
af. Het is dan het handigst om scheiding van variabelen toe te passen. Schrijf dus
\(x(t,y)=Y(y)T(t)\)
.
Als je dit in je vergelijking substitueert krijg je
\(Y(y)\frac{\partial^2}{\partial t^2}T(t)+kY(y)\frac{\partial}{\partial t}T(t)=aT(t)\frac{\partial^2}{\partial y^2}Y(y)\)
.
Deel nu door
\(x(y,t)=Y(y)T(t)\)
, je krijgt dan
\(\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2}{\partial t^2}T(t)+k\frac{1}{T(t)}\frac{\partial}{\partial t}T(t)=a\frac{1}{Y(y)}\frac{\partial^2}{\partial y^2}Y(y)\)
.
Je ziet nu dat het linkerlid alleen van
\(t\)
afhangt, terwijl het rechterlid alleen van
\(y\)
afhangt. Dit kan alleen als beide leden constant zijn. Dus er is een constante
\(C\)
die gelijk is aan zowel het linkerlid als aan het rechterlid. Met andere woorden, de partiële differentiaalvergelijking is ontkoppeld in twee gewone differentiaalvergelijkingen
\(\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2}{\partial t^2}T(t)+k\frac{1}{T(t)}\frac{\partial}{\partial t}T(t)=C\)
\(a\frac{1}{Y(y)}\frac{\partial^2}{\partial y^2}Y(y)=C\)
Kan je deze wel oplossen?
