Springen naar inhoud

[wiskunde] kardinaliteit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

christopher.hex

    christopher.hex


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 januari 2009 - 22:13

Hallo,
voor een groepswerk voor school moet ik het volgende bewijzen:
"De ongelijkheid van de kardinaliteit van de verzameling van de natuurlijk getallen en die van de reŽle getallen."

Ik ben er al achtergekomen wat de kardinaliteit is, het aantal elementen van een verzameling, maar voor de rest zou ik geen flauw idee hebben hoe hieraan te beginnen 8-)

Kan iemand me misschien op weg helpen hoe ik zo een bewijs kan opstellen?


Alvast bedankt ;)

Crisse

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 januari 2009 - 22:20

Crisse, dat is een interessant onderwerp!

Ik ben er al achtergekomen wat de kardinaliteit is, het aantal elementen van een verzameling, maar voor de rest zou ik geen flauw idee hebben hoe hieraan te beginnen ;)

Voor eindige verzamelingen kunnen we het aantal elementen gewoon geven, maar bij oneindige verzamelingen is dat lastiger. Je moet dan ook voorzichtig zijn met de formulering, want het "aantal elementen" in :D en :D is natuurlijk "oneindig". Toch willen we de groottes kunnen vergelijken (dus verschillende "mate van oneindigheid" onderscheiden), daarvoor dient de kardinaliteit.

We zeggen dat een verzameling X dezelfde kardinaliteit als ;) heeft, als je een bijectie kan vinden tussen X en :P. Dat wil zeggen dat je met elk element van :D, precies een element van X laat overeenkomen; je zoekt dus een een-tot-een verband.

voor een groepswerk voor school moet ik het volgende bewijzen:
"De ongelijkheid van de kardinaliteit van de verzameling van de natuurlijk getallen en die van de reŽle getallen."

Hier is het dus de bedoeling om te tonen dat je zo geen bijectie kan vinden tussen :P en 8-). Ik vermoed dat je niet zelf op een bewijs moet komen, maar het gekende klassieke bewijs hiervoor moet opzoeken, trachten te begrijpen en uitleggen in je werkstuk. Al eens gezocht? Kijk eens naar het diagonaalbewijs van Cantor.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

christopher.hex

    christopher.hex


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 januari 2009 - 22:29

Dat helpt me al een heel stuk verder 8-)
Bedankt!

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 januari 2009 - 22:30

Graag gedaan. Als je na je opzoekwerk nog vragen hebt, reageer je hier maar. Succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

christopher.hex

    christopher.hex


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2009 - 20:59

[attachment=3174:diagonaalbewijs.pdf]

Hier is het bewijs zoals ik het in mijn werkje wil opnemen.
Ik denk dat het wel goed opgesteld is, maar een second of third opinion kan nooit kwaad hť :D


Alvast bedankt!

#6

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2009 - 22:07

Wel, het ziet er min of meer goed uit. Enkele opmerkingen:

Omdat ook de kardinaliteit van de rationale getallen gelijk is aan die van de natuurlijke, rijst de vraag of alle verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben als die van de natuurlijke getallen. Dit is niet zo, en dat kunnen we natuurlijk ook bewijzen! Voor (Om) dit bewijs op te stellen, maken we gebruik van reductio ad absurdum. Concreet nemen we aan dat de kardinaliteit wel hetzelfde isen we op een contradictie stuiten en vervolgens stuiten we op een contradictie. Dit bewijs noemt (heet) het diagonaalbewijs van de wiskundige Cantor.

De lijst gaat in twee richtingen naar oneindig. Nu nemen we van het eerste getal het eerste cijfer na de komma, van het tweede getal het tweede cijfer van het getal (na de komma), enz. . We verkrijgen dan het getal 0,08813Ö . Als we elk cijfer nu veranderen (vermeerderen met 1 bv.) krijgen we het getal 0,19924Ö .
Dit getal kan nooit meer in de lijst staan. Want als we uit de lijst het getal n nemen, en daar het n-de cijfer met 1 vermeerderen, verschilt het altijd minstens 1 cijfer met alle andere getallen. Hieruit kunnen we besluiten dat er tussen 0 en 1 een overaftelbaar aantal reŽle getallen zit, met als gevolg dat de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner is als (dan) die van de reŽle getallen.

De bovenstaande opmerkingen zijn eerder van taalkundige aard.

PS: Mogelijk interessant voor je werkstuk is dat de Amerikaanse wiskundige Matthew Baker onlangs een ander bewijs voor deze stelling publiceerde, waarin hij gebruik maakt van speltheorie.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2009 - 23:10

Opmerkingen (naast de reeds gegeven opmerkingen):
- schrijf "2" voluit, dus "twee",
- na een dubbelpunt hoef je geen hoofdletter te gebruiken,
- ik vind het een beetje een vreemde formulering om te stellen dat een bijectie uit "twee delen" bestaat. Ik zou zeggen, we spreken van een bijectie als de functie (of afbeelding) een surjectie ťn een injectie is,
- spreek niet van "de" bijectie, maar van "een" bijectie tussen de natuurlijke en even getallen, "de bijectie" is immers niet uniek, er zijn er oneindig veel,
- je geeft helemaal geen bijectie, terwijl die toch eenvoudig te geven is! Als ik N voor de natuurlijke en E voor de even getallen noteer, dan is f : N->E : f(n) = 2n een bijectie bijvoorbeeld,
- je bewijst dat er meer reŽle getallen zijn tussen 0 en 1, dan natuurlijke getallen (en niet omgekeerd, uiteraard zijn er meer reŽle getallen dan natuurlijke getallen tussen 0 en 1 - daar heb je niks aan!),
- ik vind de beschrijving en verklaring van het bewijs maar een beetje mager...
- je gebruikt het woord "overaftelbaar" zonder uit te leggen wat dit betekent (een verzameling is overaftelbaar als de kardinaliteit strikt groter is dan die van de natuurlijke getallen, die noemen we "aftelbaar").
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures