[wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 165
[wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Hallo iedereen,
Wederom een klassieker van het toelatingsexamen; het bepalen van de hoeveelheid (en vaak ook, welke) nulpunten van een veeltermfunctie. Het examenmoment van augustus had de volgende, zie bijlage, in petto (bron: toelatingsexamen.110mb.com).
En weer kwam ik er niet uit.
Wat dien je hier precies te doen?
Wat dien je hier buiten haakjes te halen zodat je kunt zeggen: 'eerste deel' is gelijk aan 0 indien X de volgende waarde heeft. Voor het 'tweede deel' doe je hetzelfde en dan bekom je uiteindelijk het totaal aantal nulpunten.
Of dienen wij hier eerst Euclidische deling (of de methode van Horner) (maar dat is misschien tegelijkertijd ook een ander verhaal?!) toe te passen.
Hij of zij die nog andere voorbeelden weet, mag dat mij vertellen. Wordt alvast super gewaardeerd!
Ben heel benieuwd!
Alvast bedankt!
Fons
PS. Nikske heeft eerder een vergelijkbaar topic opgestart. Die som (in de vorm van a,b,c etc) snap ik echter prima. Vandaar dus nog even dit aparte topic.
PPS. Excuses indien dit onderwerp al eens eerder is behandeld.
Wederom een klassieker van het toelatingsexamen; het bepalen van de hoeveelheid (en vaak ook, welke) nulpunten van een veeltermfunctie. Het examenmoment van augustus had de volgende, zie bijlage, in petto (bron: toelatingsexamen.110mb.com).
En weer kwam ik er niet uit.
Wat dien je hier precies te doen?
Wat dien je hier buiten haakjes te halen zodat je kunt zeggen: 'eerste deel' is gelijk aan 0 indien X de volgende waarde heeft. Voor het 'tweede deel' doe je hetzelfde en dan bekom je uiteindelijk het totaal aantal nulpunten.
Of dienen wij hier eerst Euclidische deling (of de methode van Horner) (maar dat is misschien tegelijkertijd ook een ander verhaal?!) toe te passen.
Hij of zij die nog andere voorbeelden weet, mag dat mij vertellen. Wordt alvast super gewaardeerd!
Ben heel benieuwd!
Alvast bedankt!
Fons
PS. Nikske heeft eerder een vergelijkbaar topic opgestart. Die som (in de vorm van a,b,c etc) snap ik echter prima. Vandaar dus nog even dit aparte topic.
PPS. Excuses indien dit onderwerp al eens eerder is behandeld.
- Bijlagen
-
- Bepaal_aantal_nulpunten_veeltermfunctie.jpg (18.64 KiB) 1237 keer bekeken
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Voor een kwadratische veelterm kan je dit direct nagaan met behulp van de discriminant, voor een veelterm van de derde graad zal je zelf eerst een nulpunt moeten vinden. Eens je dat nulpunt hebt, kan je delen (of Horner) en op de overblijvende (kwadratische) factor de discriminant loslaten. Merk op dat een veelterm van de derde graad altijd een nulpunt heeft. Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 265
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Voor horner: de mogelijke kandidaten zijn: 1,-1,3,-3,9,-9
Vul ze een voor een in in je voorschrift en dewelke als uitkomst 0 geven zijn delers.
Deel dan, en gebruik dan nog eens horner op je 2e graads of gebruik dan de discriminant.
Vul ze een voor een in in je voorschrift en dewelke als uitkomst 0 geven zijn delers.
Deel dan, en gebruik dan nog eens horner op je 2e graads of gebruik dan de discriminant.
Etiam capillus unus habet umbram suam.
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
1 en -1 als nulpunten zijn hier echter al onmiddellijk uit te sluiten.Voor horner: de mogelijke kandidaten zijn: 1,-1,3,-3,9,-9
Immers, is 1 een nulpunt, dan is de som van de coëfficiënten gelijk aan 0 en is -1 een nulpunt dan is de som van de coëfficiënten van de termen met even machten gelijk aan de som van de coëfficiënten van de termen met oneven machten. Geen van beide is hier het geval (
\(-12 \neq 0\)
en \(-2 \neq -10\)
).Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 165
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Allereerst iedereen bedankt voor de vlugge reactie.
Helaas blijft het vraagstuk me alsnog een groot raadsel. Jullie gaan me namelijk zowat alle punten even iets te snel .
En wat versta je onder het loslaten van de discrimant op de overblijvende factor?
Heb je daar toevallig een voorbeeld (of meer) van.
En waar in dit alle komt Horner precies van pas? Moet je die gebruiken? (/ Moet ik mij die techniek nog eigen maken?)
Hoor het graag!
Fons
PS. Afgelopen dagen heb ik verschillende bronnen middels dit vraagstuk geraadpleegd hopende het zelf te kunnen oplossen, maar die brengen me allemaal alleen maar meer verwarring en onduidelijkheid. Vandaar bovenstaande post. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen! Super bedankt alvast!
Helaas blijft het vraagstuk me alsnog een groot raadsel. Jullie gaan me namelijk zowat alle punten even iets te snel .
Dus indien D<0 heb je minstens 1 snijpunt en dus ook minsten 1 nulpunt? Bedoel je dit?Voor een kwadratische veelterm kan je dit direct nagaan met behulp van de discriminant.
Hoe doen we dat?Voor een veelterm van de derde graad zal je zelf eerst een nulpunt moeten vinden.
Wat bedoel je met delen?Voor een veelterm van de derde graad zal je zelf eerst een nulpunt moeten vinden.Eens je dat nulpunt hebt, kan je delen (of Horner) en op de overblijvende (kwadratische) factor de discriminant loslaten.
En wat versta je onder het loslaten van de discrimant op de overblijvende factor?
Heb je daar toevallig een voorbeeld (of meer) van.
Want? Indien dat te ingewikkeld wordt, neem ik het gewoon aan .Merk op dat een veelterm van de derde graad altijd een nulpunt heeft.
Kun je dat een keer voordoen?Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten.
En waar in dit alle komt Horner precies van pas? Moet je die gebruiken? (/ Moet ik mij die techniek nog eigen maken?)
Hoor het graag!
Fons
PS. Afgelopen dagen heb ik verschillende bronnen middels dit vraagstuk geraadpleegd hopende het zelf te kunnen oplossen, maar die brengen me allemaal alleen maar meer verwarring en onduidelijkheid. Vandaar bovenstaande post. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen! Super bedankt alvast!
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Een kwadratische veelterm heeft geen nulpunt voor D<0, een voor D=0 en twee voor D>0.Dus indien D<0 heb je minstens 1 snijpunt en dus ook minsten 1 nulpunt? Bedoel je dit?
Eerst verder lezen: "Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten." Ga bijvoorbeeld eens na of -3 of 3 een nulpunt is. Dat doe je door x hierdoor te vervangen en dan gewoon uitrekenen.Hoe doen we dat?
Euclidische deling, staartdeling, schema van Horner gebruiken; eigenlijk komt dat allemaal op hetzelfde neer. Als x = a een nulpunt is, dan is de veelterm deelbaar door (x-a), of nog: je kan de veelterm schrijven als (x-a)*(nieuwe veelterm van een graad lager).Wat bedoel je met delen?
Als je bovenstaande doet, is die nieuwe factor van de tweede graad. Het bepalen van het aantal nulpunten van die factor kan gemakkelijk met de discriminant.En wat versta je onder het loslaten van de discrimant op de overblijvende factor?
Zo'n veeltermfunctie is continu en voor x voldoende groot, zal een veelterm van de derde graad het teken van de hoogstegraadscoëfficiënt krijgen; voor x voldoende klein het tegengesteld teken. Ergens daartussen moet de functie minstens een keer door de x-as, daar is een nulpunt.Want? Indien dat te ingewikkeld wordt, neem ik het gewoon aan .
Dat is bij dit soort opgaven wel nuttig ja. Uitleg over en voorbeelden van dat schema van Horner vind je gemakkelijk na even zoeken (hier op WSF, op Wisfaq of zelf even met google).En waar in dit alle komt Horner precies van pas? Moet je die gebruiken? (/ Moet ik mij die techniek nog eigen maken?)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 165
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Dank voor de reactie!
De constante term is het getal 'achteraan' de veeltermfunctie.
Dus bij wijze van voorbeeld:
x^2+25 is 25 de constante term en bij x^3-36 is dat -36 (en niet 36?).
De delers van de constante term zijn dan alles waarvan het kwadraat die waarde als resultaat heeft.
Toegespitst op het voorbeeld:
Delers bij voorbeeld 1: -5 en 5
Delers bij voorbeeld 2: --6 en 6
Klopt dat?
Fons
PS. Verdere opmerkingen volg ik .
Wat eigenlijk wilde zeggen is dat ik eigenlijk nog niet weet wat bedoelt wordt met: 'delers van de constante term'.Eerst verder lezen: "Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten." Ga bijvoorbeeld eens na of -3 of 3 een nulpunt is. Dat doe je door x hierdoor te vervangen en dan gewoon uitrekenen.
De constante term is het getal 'achteraan' de veeltermfunctie.
Dus bij wijze van voorbeeld:
x^2+25 is 25 de constante term en bij x^3-36 is dat -36 (en niet 36?).
De delers van de constante term zijn dan alles waarvan het kwadraat die waarde als resultaat heeft.
Toegespitst op het voorbeeld:
Delers bij voorbeeld 1: -5 en 5
Delers bij voorbeeld 2: --6 en 6
Klopt dat?
Fons
PS. Verdere opmerkingen volg ik .
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Dat klopt.x^2+25 is 25 de constante term en bij x^3-36 is dat -36 (en niet 36?).
Neen, de delers van die constante term zijn de getallen, waarvan het quotiënt met de constante term een geheel getal is. Iets formeler.De delers van de constante term zijn dan alles waarvan het kwadraat die waarde als resultaat heeft.
De delers van 25 zijn 5, -5, 1, -1, 25 en -25.
De delers van 36 zijn -36, -18, -12, -9, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 en 36.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 165
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Want 'in woorden':De delers van 25 zijn 5, -5, 1, -1, 25 en -25.
25 gedeeld door 5 = 5 en dat is een geheel getal
25 gedeeld door -5 =-5 en dat is een geheel getal
Etc.
Ja ?
Fons
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Klopt! Lukt het nu?
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Begrijp je nu waarom dit de kandidaten zijn? Probeer ze eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 165
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
HET KOMT UIT !
Drie nulpunten. 1tje volgt uit mijn vriend 'deler van constante term'. De twee andere volgende uit de deling volgende tweedegraadsvergelijking. De discriminant is er namelijk groter dan 0.
Om de een of andere reden heeft de scanner even geen 'goesting', dus op het beeld moeten we nog even wachten. Kom ik dus nog op terug.
Nog een keer SUPER bedankt!!
Fons
Fons
Drie nulpunten. 1tje volgt uit mijn vriend 'deler van constante term'. De twee andere volgende uit de deling volgende tweedegraadsvergelijking. De discriminant is er namelijk groter dan 0.
Om de een of andere reden heeft de scanner even geen 'goesting', dus op het beeld moeten we nog even wachten. Kom ik dus nog op terug.
Nog een keer SUPER bedankt!!
Fons
Ja ! Ik ga ze proberen. (En dan meteen Horner leren!) Maar ik weet nog niet of me dat vanavond al lukt. Kom ik nog op terug !Begrijp je nu waarom dit de kandidaten zijn? Probeer ze eens.
Fons
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Mooi. Over welke opgave heb je het overigens? Niet die uit de openingspost neem ik aan.Fons schreef:HET KOMT UIT !
Drie nulpunten. 1tje volgt uit mijn vriend 'deler van constante term'. De twee andere volgende uit de deling volgende tweedegraadsvergelijking. De discriminant is er namelijk groter dan 0.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 165
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Deze bedoelde ik:
Pagina 1:
Pagina 2:
Wil iemand ze voor de zekerheid nog even overlopen? Alvast bedankt!
Fons
Pagina 1:
Pagina 2:
Wil iemand ze voor de zekerheid nog even overlopen? Alvast bedankt!
Fons
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie
Het klopt dat x=3 een nulpunt is, dus (x-3) een factor in de ontbinding, maar het gaat mis bij het ontbinden/delen.
Je schrijft: (x-3)(2x²-3x-9), maar als ik dat uitwerk wordt de constante term al 27 en die was -9...
Je schrijft: (x-3)(2x²-3x-9), maar als ik dat uitwerk wordt de constante term al 27 en die was -9...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)