[wiskunde] partiële afgeleiden van de tweede orde

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 175

[wiskunde] parti

Nadat ik partiële afgeleiden redelijk onder de knie heb gekregen (dankzij een aantal mensen hier, bedankt!), ben ik nu aangekomen bij Partiële afgeleiden van de tweede orde.

Net 2 sommen gemaakt en dat ging prima, nu stuit ik echter op een probleem:

som:
\(\sqrt{x^2+2y^2}\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+2y^2}} * (2x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+2y^2}} \)

\(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+2y^2}} * (4y) = \frac{4y}{2\sqrt{x^2+2y^2}}\)
\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial\large(\normalsize\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2y^2}})}{\partial x} * (\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2y^2}})'\)
Ik kan namelijk de afgeleide van
\(\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2y^2}}\)
niet maken/vinden. Wie helpt me op weg?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Kleine opmerking: bij je eerste orde partiële afgeleide kan je telkens nog wat vereenvoudigen (factor 2 in teller en noemer schrappen).

Voor de tweede orde partiële afgeleide, begrijp ik je notatie niet zo goed... Je noteert de (partiële) afgeleide naar x van de eerder gevonden eerste orde partiële afgeleide (dat is oké), maar dan nog vermenigvuldigd met een afgeleide (naar...?) waarvan ik niet goed begrijp wat die daar doet.

Je zoekt dus:
\(\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}} \right) = \cdots \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] parti

Sorry voor mijn notatie, maar wat jij daar stelt is precies wat ik bedoel, (ik zag die vereenvoudiging ook nog eens niet :eusa_whistle: ) maar de afgeleide vinden van
\(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}}}} \)
lukt mij dus niet ](*,)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Je hebt dit keer een breuk met x in teller en noemer, daarvoor ken je waarschijnlijk de quotiëntregel?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] parti

Idd, en dan kom ik zo ver:
\( \frac{\left(1 * \sqrt{x^2+2y^2}\right)-\left(x* \frac{x}{\sqrt{x^2+2y^2}}\right)}{x^2+2y^2}\)
Maar dan zit ik echt vast

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Je kan het nog wat netter schrijven en probeer dan de teller op een breuk te zetten:
\(\frac{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}}}{{{x^2} + 2{y^2}}} = \frac{{\frac{{{x^2} + 2{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}}}{{{x^2} + 2{y^2}}} = \ldots\)
Het afleiden ("moeilijk deel") is nu gedaan, wat overblijft is gewoon vereenvoudigen (algebraïsch rekenwerk).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] parti

Bedankt voor de moeite TD, ik ga er verder naar kijken en proberen uit te vogelen wat jij precies gedaan hebt!

Ik hoop dat ik het antwoord vandaag nog heb, anders zet ik het er morgen op.

Nogmaals bedankt!

Berichten: 234

Re: [wiskunde] parti

Misschien is het "gemakkelijker" om
\(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}}}} \)
te schrijven als
\(x(x^2+2y^2)^{{-1/2}}\)
en dan de productregel toepassen. Ik vind persoonlijk dan dat het gemakkelijker te vereenvoudigen is. Natuurlijk is dit hetzelfde als het andere.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

DRW89 schreef:Bedankt voor de moeite TD, ik ga er verder naar kijken en proberen uit te vogelen wat jij precies gedaan hebt!

Ik hoop dat ik het antwoord vandaag nog heb, anders zet ik het er morgen op.

Nogmaals bedankt!
Ik heb toch niets "vreemd" gedaan, hoop ik? Teller en noemer vermenigvuldigd met die wortel, zodat beide termen in de teller op dezelfde noemer staan. Nu kan je ze eenvoudig samennemen tot een breuk en de x² valt dan mooi weg. Dan nog even verder vereenvoudigen... Succes!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] parti

Ik heb toch niets "vreemd" gedaan, hoop ik? Teller en noemer vermenigvuldigd met die wortel, zodat beide termen in de teller op dezelfde noemer staan.


Ik zie wat je doet, maar ik snap niet hoe je het doet :S. Volgens mij is dit echt basis wiskunde met die teller en noemer vermenigvuldigen maar ik zie niet hoe je van
\(\sqrt{x^2+2y^2}\)
-->
\( \frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+2y^2}}\)
maakt..

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

\(\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}{1}\frac{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} } \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }} = \frac{{{x^2} + 2{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}\)
Je vermenigvuldigt teller en noemer met de gewenste noemer (die van de andere breuk; toevallig dezelfde wortel!) zodat beide breuken dezelfde noemer hebben.

Eigenlijk is dit hetzelfde als zeggen: a = a²/a, maar dan met a = die wortel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] parti

\(\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}{1}\frac{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} } \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }} = \frac{{{x^2} + 2{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }}\)


:eusa_whistle: ;) ;) ](*,) , Ik ben te lang met deze som bezig geweest, mn hersenen kunnen het niet meer aan waardoor ik de simpelste dingen niet meer zie, ik moet naar bed ](*,) . Nogmaals bedankt, ik snap het nu!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Prima, je bent er bijna...

Merk op dat de afgeleide hier eigenlijk al juist is, de rest is alleen "anders schrijven" (vereenvoudigen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer