n³+(n+1)³+(n+2)³
waarbij n een element is van N
Toon aan dat dit deelbaar is door 9.
Als je dit uitwerkt komt je 3n³+9n²+15n+9
Hoe moet ik nu verder?
Laatste berichten
-
06:56
Casus uit de praktijk: positief test THC 3
-
22:01
vB 7
-
21:45
Vreemde stank in huis 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
-
04 apr
Geiger Muller telbuis 2
-
03 apr
Schroefdraad berekening 3
-
03 apr
Relatieve luchtvochtigheid 26
-
03 apr
tank 4
-
02 apr
gereduceerde massa 12
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Algebra - deelbaarheid
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 5.679
Re: Algebra - deelbaarheid
9n²+9 is sowieso deelbaar door 9, dus je hoeft alleen nog aan te tonen dat 3n³+15n deelbaar is door 9, oftewel dat n³+5n deelbaar is door 3. Onderscheid eens de gevallen n=3k, n=3k+1, en n=3k+2 ?
Een andere manier zou met inductie zijn. Als we die term voor n even
Een andere manier zou met inductie zijn. Als we die term voor n even
\(A(n)=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\)
noemen, volstaat het om aan te tonen dat uit A(n)=negenvoud volgt dat A(n+1)=negenvoud (want dan kun je zeggen: A(1)=36 en dat is een negenvoud, en dus uit A(1) volgt ook A(2), en dus ook A(3), enzovoort voor alle n).In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 24.578
Re: Algebra - deelbaarheid
Deze opgave zal wel op verschillende plaatsen te vinden zijn, maar uit nieuwsgierigheid: waar heb jij de oefening vandaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Algebra - deelbaarheid
Het eenvoudigste bewijs lijkt me
(3n³+9n²+15n+9)/3=n³+3n²+5n+3
en dat is een heel getal voor alle n.
Maar dit was zeker niet wat je zocht.
(3n³+9n²+15n+9)/3=n³+3n²+5n+3
en dat is een heel getal voor alle n.
Maar dit was zeker niet wat je zocht.
-
- Berichten: 24.578
Re: Algebra - deelbaarheid
Dat is toch geen bewijs van het gevraagde? Dit toont deelbaarheid door 3, niet door 9. Daarvoor moet je tonen dat de uitdrukking die je hier neerschrijft, nog eens deelbaar is door 3.bessie schreef:Het eenvoudigste bewijs lijkt me
(3n³+9n²+15n+9)/3=n³+3n²+5n+3
en dat is een heel getal voor alle n.
Maar dit was zeker niet wat je zocht.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.116
Re: Algebra - deelbaarheid
Mij lijkt eenvoudiger om gewoon door te gaan op de weg van TD en Bessie:
Gezien 3n² en 3 deelbaar zijn door drie kunnen we deze weglaten en blijven we over met:
Dat laatste stukje klopt, maar hoe ik het zou bewijzen, moet ik nog even over denken
.
\(\frac{3n³+9n²+15n+9}{9}=\frac{n³+3n²+5n+3}{3} = k\)
Gezien 3n² en 3 deelbaar zijn door drie kunnen we deze weglaten en blijven we over met:
\(\frac{n³ + 5n}{3} = \frac{(n² + 5)n}{3} = k \longrightarrow \frac{n² + 2}{3} = k\)
Dat laatste stukje klopt, maar hoe ik het zou bewijzen, moet ik nog even over denken
.Re: Algebra - deelbaarheid
Dat kan ik wel bewijzen met volledige inductie.
Als n^3+5n deelbaar is door drie, dan is (n+1)^3+5(n+1) dat ook, want
Als n^3+5n deelbaar is door drie, dan is (n+1)^3+5(n+1) dat ook, want
\((n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5=(n^3+5n)+(3n^2+3n+6)\)
De eerste is deelbaar vanwege de algemene voorwaarde, de tweede omdat alle coefficienten deelbaar zijn door drie.-
- Berichten: 1.116
Re: Algebra - deelbaarheid
Deze stap mag trouwens niet... Vul voor n maar drie in.\(\frac{(n² + 5)n}{3} = k \longrightarrow \frac{n² + 2}{3} = k\)
-
- Berichten: 91
Re: Algebra - deelbaarheid
basiswiskunde.be uit dat boekDeze opgave zal wel op verschillende plaatsen te vinden zijn, maar uit nieuwsgierigheid: waar heb jij de oefening vandaan?
Ik zal dit eerst allemaal eens bekijken , alvast bedankt voor de snelle reacties:)
-
- Berichten: 24.578
Re: Algebra - deelbaarheid
Oké, dan hebben we het over dezelfde bronbasiswiskunde.be uit dat boek
.Prima; ik stel voor dat je het bericht van Rogier eens goed doorneemt; probeer te begrijpen waarom die aanpak nuttig is. Als je vast zit, stel gerust vragen.Ik zal dit eerst allemaal eens bekijken , alvast bedankt voor de snelle reacties:)
Hieropvolgende vragen van JWvdVeer n.a.v. inductie afgesplitst naar http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=130263
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 91
Re: Algebra - deelbaarheid
bessie schreef:Dat kan ik wel bewijzen met volledige inductie.
Als n^3+5n deelbaar is door drie, dan is (n+1)^3+5(n+1) dat ook, want
\((n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5=(n^3+5n)+(3n^2+3n+6)\)De eerste is deelbaar vanwege de algemene voorwaarde, de tweede omdat alle coefficienten deelbaar zijn door drie.
Vanwaar komt die (n+1)^3+5(n+1) ?
ik ben niet zo familiair met inductie.
greetz
-
- Berichten: 91
Re: Algebra - deelbaarheid
de gevallen n=3k, n=3k+1 , n=3k+2 zijn allemaal deelbaar door 3.Rogier schreef:9n²+9 is sowieso deelbaar door 9, dus je hoeft alleen nog aan te tonen dat 3n³+15n deelbaar is door 9, oftewel dat n³+5n deelbaar is door 3. Onderscheid eens de gevallen n=3k, n=3k+1, en n=3k+2 ?
Een andere manier zou met inductie zijn. Als we die term voor n even\(A(n)=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\)noemen, volstaat het om aan te tonen dat uit A(n)=negenvoud volgt dat A(n+1)=negenvoud (want dan kun je zeggen: A(1)=36 en dat is een negenvoud, en dus uit A(1) volgt ook A(2), en dus ook A(3), enzovoort voor alle n).
Hoe kom je daar juist op?
dat het steeds deelbaar moet zijn door een geheel getal * 3
maar vanwaar hoe kom je op de +1 en +2 enz
INDUCTIE
Waarom is A(1) = 36?
Ik ben niet zo familiair met inductie.
-
- Berichten: 24.578
Re: Algebra - deelbaarheid
Elk natuurlijk getal is van de vorm 3k, 3k+1 of 3k+2, d.w.z. dat je steeds een k kan vinden zodat n te schrijven is in een van die vormen. De rest bij deling door 3 is immers steeds 0 (3k), 1 (3k+1) of 2 (3k+2). Door die drie gevallen apart na te gaan, heb je alle natuurlijke getallen.clone007 schreef:de gevallen n=3k, n=3k+1 , n=3k+2 zijn allemaal deelbaar door 3.
Hoe kom je daar juist op?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
