Een symmetrische matrix is een vierkante matrix, die symmetrisch is t.o.v. van zijn hoofddiagonaal. Dat betekent dat de elementen aan weerszijden van de hoofddiagonaal gelijk aan elkaar zijn, of iets formeler:
\(a_{ij} = a_{ji}\)
(waarbij
\(a_{ij}\)
een element van deze matrix voorstelt)
Een andere manier om een symmetrische matrix te definiëren (die voor jou wellicht interessanter is, aangezien deze definitie de getransponeerde gebruikt):
Een vierkante matrix A is symmetrisch als en slechts als:
\(A = A^T\)
Om terug te komen op je eigenlijke vraag: ik zou het probleem herleiden tot op het niveau van de elementen en vervolgens gewoon uitschrijven. Om je te laten zien wat er gebeurt heb ik het hieronder uitgeschreven voor een 2x2-matrix:
\(\left[\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}a_{11} & a_{21} \\a_{12} & a_{22} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a_{11} + a_{11} & a_{12} + a_{21} \\a_{21} + a_{12 }& a_{22} + a_{22}\end{array}\right]\)
en
\(\left[\begin{array}{cc}a_{11} + a_{11} & a_{12} + a_{21} \\a_{21} + a_{12 }& a_{22} + a_{22}\end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{cc}a_{11} + a_{11} & a_{12} + a_{21} \\a_{21} + a_{12 }& a_{22} + a_{22}\end{array}\right]\)
Hier zie je dus dat de eigenschap geldt voor een 2x2-matrix. Aan jou om het uit te schrijven en te bewijzen voor alle vierkante matrices.
EDIT: Stoker en dirkwb waren me voor.
