[wiskunde] abc en sin/cos/tan

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 20

[wiskunde] abc en sin/cos/tan

Hallo,

Ik heb in klas 3 heel erg veel gemist, daarom snap ik een aantal dingen niet:

- ABC-formule

- sinus/cosinus/tanges

Kunnen jullie helpen??

Bedankt ;)

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

De ABC-formule is een formule die je botweg in je kop moet stampen.

De formule is
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)


Dat zijn de oplossingen van de vierkantsvergelijking
\(ax^2+bx+c=0\)
.

(Je moet dat zó begrijpen:

Als
\(x_1\)
en
\(x_2\)
de nulpunten zijn van de vierkanstvergelijking
\(ax^2+bx+c=0\)
,

dan is
\(x_1}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
en
\(x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
)

Voorbeeld:

Los op:
\(x^2-3x+2=0\)
Oplossing:

Vergelijk
\(x^2-3x+2=0\)
met
\(ax^2+bx+c=0\)
.

Dan is
\(a=1, b=-3, c=2\)
Invullen in
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
geeft:
\(x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot2}}{2} = \frac{3\pm 1}{2}\)
Dus de nulpunten zijn
\(x_1 = 2\)
en
\(x_2=1\)
.

Als je dit snapt, probeer dan hier eens de ABC-formule voor de volgende vierkantsvergelijking:
\(x^2-5x+6=0\)
.

Gebruikersavatar
Berichten: 829

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Sinus, Cosinus en Tangens zijn goniometrische functies, het zijn functies die een verband tussen een hoek en verhoudingen van lengten aanduiden.

Stel je tekent een rechthoekige (belangrijk, anders geldt het niet) driehoek. Je benoemt de punten A, B, C met B als het punt met de rechte hoek. Vervolgens definieer je dat
\(\alpha\)
de hoek is van het hoekpunt A. (uiteraard kan je ook andere namen van punten nemen, maar in dit voorbeeld probeer ik uiteraard om consequent te zijn). Dat is de

sinus:
\(\sin(\alpha)=\frac{|BC|}{|AC|}\)
cosinus:
\(\cos(\alpha)=\frac{|AB|}{|AC|}\)
tangens:
\(\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\frac{|BC|}{|AC|}}{\frac{|AB|}{|AC|}}=\frac{|BC|}{|AB|}\)
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."

--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Verplaatst naar wiskunde algemeen.

Bekijk ook eens onze cursus [microcursus] Goniometrie: sinus, cosinus en tangens (basis).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 20

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Bedankt voor jullie hulp:) ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 20

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Alleen snap ik dat van ABC formule nog neit helemaal.... misschien een iets gedetailleder antwoord, zoals de link van SOS, CAS, TOA...

BvD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Het antwoord was nochtans al vrij gedetailleerd. We kunnen je beter verderhelpen als je zelf iets duidelijker aangeeft wat je precies niet begrijpt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 20

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Ik begrijp het niet zo goed van x1 en x2????

Ik begrijp het niet zo goed van x1 en x2????

Berichten: 43

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

een vergelijking, bijvoorbeeld x^2 = 2601 heeft als oplossing 51, maar ook -51, omdat [-]*[-] = [+]. Daarom kun je in de boven-vorm hierover bijv. zeggen dat x = +/- 51.

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Ik begrijp het niet zo goed van x1 en x2????
De twee oplossingen van een vierkantsvergelijking noemen we (gemakshalve)
\(x_1\)
en
\(x_2\)
.

De twee oplossingen van de vkv
\(x^2-5x+6=0\)
noemen we
\(x_1\)
en
\(x_2\)
.

De nulpunten zijn in dit geval 2 en 3, dus
\(x_1=2\)
en
\(x_2 = 3\)
.

(Je mag dat ook omwisselen, dus zeggen
\(x_1=3\)
en
\(x_2 = 2\)
.

Bedoel je dat? Zo niet, dan moet je precies de plek noemen waar je iets niet begrijpt.

Berichten: 74

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

De ABC-formule wordt gebruikt om de snijpunten met de x-as te bepalen (dwz y = 0), voor een formule met de vorm
\(ax^2 \pm bx \pm c\)
.

Voorbeeld:
\(y = 2x^2 - 3x - 5\)
Voor y = 0 geldt:
\(2x^2 - 3x - 5 = 0\)


Grafiek:

Afbeelding

Je ziet dat er twee snijpunten met de x-as zijn, vandaar
\(x_1\)
en
\(x_2\)
.

Als je die snijpunten wilt berekenen, gebruik je de ABC-formule.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Stap 1

Bepaal de discriminant D

Formule:
\(D = b^2 -4ac\)
Betekenis:

D > 0 --> 2 snijpunten met de x-as --> 2 oplossingen

D = 0 --> 1 "raak-punt" met de x-as --> 1 oplossing

D < 0 --> géén snijpunt met de x-as --> geen oplossing

In dit geval: a = 2, b = -3 en c = -5

Dus
\(D = (-3)^2 - 4*2*(-5) = 49\)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Stap 2

Bereken de x-en

Formule:
\(x_1}=\frac{-b+ \sqrt{D}}{2a}\)
en
\(x_2=\frac{-b- \sqrt{D}}{2a}\)
Betekenis:
\(x_1\)
is het rechter snijpunt en
\(x_2\)
is het linker snijpunt.

In dit geval: D = 49

Dus
\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2*2} = \frac{3 + 7}{4} = 2,5\)
en
\(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2*2} = \frac{3 - 7}{4} = -1\)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Conclusie
\(x_1 = 2,5\)
en
\(x_2 = -1\)
Dus de snijpunten van
\(y = 2x^2 - 3x - 5\)
met de x-as zijn: (-1; 0) en (2,5; 0) (zoals je ook in de grafiek kunt zien)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ik hoop dat dit het duidelijker maakt.

Gebruikersavatar
Berichten: 20

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Harstikke bedankt:D

Gebruikersavatar
Berichten: 20

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Alleen heb ik nog een vraagg:S

Stel voor je hebt maar 1 X,

Moet je dan bij de abc formule de positieve of de negatieve gebruiken of gewoon alle

2 maar dan hetzelfde antwoord invullen???

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Je hebt slechts één oplossing als de discriminant (D = b²-4ac) nul is, de vierkantswortel daarvan is ook 0 en net daarvoor staat het plus/min-teken. Dus dat komt ook in de formule netjes uit, want +0 of -0 is natuurlijk gewoon 0...!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: [wiskunde] abc en sin/cos/tan

Voorbeeld:
\(x^2-2x+1=0\)


ABC-formule:
\(x_1=\frac{-b+ \sqrt{D}}{2a} = \frac{2+\sqrt{0}}{2} = 1\)
\(x_2=\frac{-b- \sqrt{D}}{2a} = \frac{2-\sqrt{0}}{2} = 1\)


Het antwoord is dus
\(x_1 = x_2 = 1\)
.

Je kunt als je wilt het ook zó schrijven:

Er is slechts één oplossing
\(x=1\)
.

Reageer