[wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 15-09-'09, 15:56

okej26

Berichten: 211

[wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Heb de volgende ''bonus''-opgave opgekregen bij een vak wat zich bezighoud met regelsystemen. Nu is het geen vraag die gericht is op de daadwerkelijke lesstof maar één vraag die echt als extra bedoelt is.

Hopelijk is er iemand die me een hint kan geven tot het oplossen van beide sub-vragen. Heb namelijk niet echt een idee in welke richting ik moet zoeken bij het oplossen.

Stel dat een pistool geplaatst is op ''unit distance'' van een muur die als oneindig lang kan worden gezien. Het pistool wordt geroteerd met een constante snelheid. Gedurende elke omwenteling, wordt op een willekeurig tijdstip een schot afgevuurd.

Afbeelding

1. Wat is de distributie P(x) van de schoten op de muur?

2. Vind gemiddelde en variantie van variabele x voor deze distributie.
Omhoog

Bericht 15-09-'09, 16:09

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Neem de stippellijn als referentie van (nul graden); als er een schot wordt afgevuurd ergens tussen -90 en +90 graden dan komt deze op de muur terecht: de kans dat je dan de muur raakt is 1 elders nul.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 15-09-'09, 16:51

okej26

Berichten: 211

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Neem de stippellijn als referentie van (nul graden); als er een schot wordt afgevuurd ergens tussen -90 en +90 graden dan komt deze op de muur terecht: de kans dat je dan de muur raakt is 1 elders nul.


Daar heb je helemaal gelijk in. Alleen zou dan nog niet weten wat er verder van me verwacht wordt. Het is me namelijk niet duidelijk waar ik nu uiteindelijk op uit dien te komen qua antwoord. Dient dit bijvoorbeeld een formule te zijn die voor een gegeven waarde x de kans geeft dat de muur wel dan wel niet geraakt wordt? Ook is het me eigenlijk nog niet duidelijk wat nu met de variabele x wordt bedoelt, is dit de hoek t.o.v. de stippellijn of de afstand vanaf de stippellijn of nog iets anders?
Omhoog

Bericht 06-10-'09, 12:22

okej26

Berichten: 211

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Daar heb je helemaal gelijk in. Alleen zou dan nog niet weten wat er verder van me verwacht wordt. Het is me namelijk niet duidelijk waar ik nu uiteindelijk op uit dien te komen qua antwoord. Dient dit bijvoorbeeld een formule te zijn die voor een gegeven waarde x de kans geeft dat de muur wel dan wel niet geraakt wordt? Ook is het me eigenlijk nog niet duidelijk wat nu met de variabele x wordt bedoelt, is dit de hoek t.o.v. de stippellijn of de afstand vanaf de stippellijn of nog iets anders?
Ok, x is gelijk aan de afstand t.o.v. de stippellijn. De hoek van het pistool wordt bepaald door:

tan(hoek) = x / 1 = x

nu zou als ik het goed begrijp de distributie als volgt zijn:

P(x) = 1 wanneer -90 < tan[x]^(-1) < 90

P(x) = 0 wanneer -90 >= tan[x]^(-1) => 90

is er iemand die kan zeggen of dit het juiste antwoord is op de eerste vraag...?
Omhoog

Bericht 06-10-'09, 13:28

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Ik noem \(\theta\) de hoek gemeten met de klok mee vanaf de stippellijn. Om de boel te versimpelen beginnen we te kijken naar de situatie waarbij geldt: \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) (ofwel de rechterkant van de muur). Ga ervan uit dat de kans op een schot voor elke hoek gelijk is (uniform verdeeld dus). Je kunt nu de cumulatieve kansverdelingsfunctie opschrijven (als functie van \(\theta\)):
\(P(\Theta \leq \theta) = \cdots\)
Je kunt ook \(\theta\) als functie van \(x\) schrijven.
\(\theta(x) = \cdots\)
Hiervoor moet gelden (het maakt immers niet uit of je de boel vastlegt met \(x\) danwel \(\theta\)):
\(P(X \leq x) = P(\Theta \leq \theta(x) )\)
Hiermee kun je de cumulatieve kansverdelingsfunctie van \(X\) schrijven als functie van \(x\). Zonder al te veel problemen zou je nu de kansverdeling moeten kunnen vinden voor de gehele muur (gebruik symmetrie). Het is dan ook mogelijk om de dichtheid makkelijk te bepalen.
Omhoog

Bericht 06-10-'09, 19:02

okej26

Berichten: 211

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Wat ik er van kan maken is het volgende:
\(P(\Theta \leq \theta) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{for}& \theta \geqq \frac{\pi}{2} \\ 1 & \mbox{for} & \theta < \frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)
schrijven als functie van \(x\). Zonder al te veel problemen zou je nu de kansverdeling moeten kunnen vinden voor de gehele muur (gebruik symmetrie). Het is dan ook mogelijk om de dichtheid makkelijk te bepalen.[/quote]

Je vult dan toch gewoon i.p.v x de
\( \theta \)
in? En voor de andere kant van de muur vul je een bereik van
\( \frac{-\pi}{2} \)
tot 0 in?
Omhoog

Bericht 07-10-'09, 08:12

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

\(P(\Theta \leq \theta)\) geeft de kans dat de stochastische variabele voor de hoek kleiner of gelijk is aan een bepaalde hoek \(\theta\). Dat is dus niet wat jij hebt opgeschreven. Jij hebt opgeschreven wat voor een bepaalde hoek de kans is dat de muur geraakt wordt.
Omhoog

Bericht 07-10-'09, 08:51

okej26

Berichten: 211

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

\(P(\Theta \leq \theta) = \)
0,25 wanneer
\( 0 \geq \theta \leq \frac{\pi}{2} \)
Omhoog

Bericht 07-10-'09, 09:04

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Lijkt me niet. Stel dat je een willekeurige hoek kiest (uniforme verdeling). Dan zeg je nu dat de kans dat deze willekeurig gekozen hoek kleiner is dan \(\frac{\pi}{10}\) gelijk is aan de kans dat deze willekeurige hoek kleiner is dan \(\frac{\pi}{2}\).
\(0 \geq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)
is trouwens raar. Je bedoelde waarschijnlijk
\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)
Omhoog

Bericht 07-10-'09, 13:35

okej26

Berichten: 211

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Je bedoelde waarschijnlijk
\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)
Inderdaad dat bedoelde ik.. maar begrijp uit je manier van antwoorden dat het dan ook niet goed is. Hopelijk kun je me nog wat verder op weg helpen.

Ik lees het nu namelijk als: De kans dat een willekeurige hoek kleiner dan of gelijk is aan
\( \theta \)
. Nu kan die willekeurige hoek gaan van
\( [0, 2\phi]\)
en
\( \theta\)
van
\([0, frac{\pi}{2}\)
Daar komt die 0.25 vandaan die ik aangaf, maar die onjuist was. Hoe moet ik het dan wel zien?
Omhoog

Bericht 07-10-'09, 14:33

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Stel dat we een variabele X hebben waarvoor geldt dat deze een uniforme verdeling heeft met waarden tussen [0,2]. Wat is de kans dan dat X kleiner of gelijk is aan 0? en aan 0.5? en aan 1?
Omhoog

Bericht 07-10-'09, 16:53

okej26

Berichten: 211

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Stel dat we een variabele X hebben waarvoor geldt dat deze een uniforme verdeling heeft met waarden tussen [0,2]. Wat is de kans dan dat X kleiner of gelijk is aan 0? en aan 0.5? en aan 1?
Zou zeggen: 0 , 0.25 en 0.5. Alleen is dit wel ''gevoelsmatig'' al fout omdat de kans op kleiner of gelijk aan 0 groter moet zijn dan 0 aangezien het plaats kan vinden. Ik begrijp dat de uniforme verdeling inhoudt dat de kans voor de n gebeurtenissen gelijk is aan
\(\frac{1}{n}\)
. Maar veel verder kom ik eigenlijk niet.. hopelijk zou je het wat kunnen verduidelijken of wellicht een duidelijke site hebben die ik eens goed kan bestuderen. Want zoals aangegeven is dit een ''bonus"-probleem waardoor ik niet een concreet boek heb waaruit ik de benodigd informatie kan halen...
Omhoog

Bericht 08-10-'09, 08:23

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Zou zeggen: 0 , 0.25 en 0.5.
klopt.
Alleen is dit wel ''gevoelsmatig'' al fout omdat de kans op kleiner of gelijk aan 0 groter moet zijn dan 0 aangezien het plaats kan vinden.
Nee. Een kans nul wil niet automatisch zeggen dat dat dan betekent dat het niet voor kan komen (zie dit).

Even terug naar de X die ik hiervoor aangaf. De formule hiervoor is:
\(P(X \leq x) = \frac{x}{2}\)
met
\(x \in [0, 2]\)
Probeer nu te bedenken wat dan voor de hoek moet gelden in het pistool geval (en ga daarna verder met de eerder gegeven hint).
Omhoog

Bericht 12-10-'09, 16:29

okej26

Berichten: 211

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

EvilBro schreef:klopt.

Nee. Een kans nul wil niet automatisch zeggen dat dat dan betekent dat het niet voor kan komen (zie dit).

Even terug naar de X die ik hiervoor aangaf. De formule hiervoor is:
\(P(X \leq x) = \frac{x}{2}\)
met
\(x \in [0, 2]\)
Probeer nu te bedenken wat dan voor de hoek moet gelden in het pistool geval (en ga daarna verder met de eerder gegeven hint).
\(P(\Theta \leq \theta) = \frac{\theta + 0.5\pi}{\pi}\)
Omhoog

Bericht 14-10-'09, 10:31

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] statistiek: distributie bepalen

Stel dat we alleen het gebied bekijken met \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\). Voor het gemak stellen we even dat dit ook de enige mogelijke hoeken zijn, dus:
\(P(\Theta \leq \theta) = \frac{2 \cdot \theta}{\pi}\)
Druk dit nu uit in x.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”