Gegeven een cirkelsector met straal a en openingshoek 2*w. Bepaal de afmetingen (=hoogte en breedte) van de rechthoek met maximale oppervlakte die in deze sector kan worden getekend.
Wel men werkt hier met een 2e cirkelsector met openingshoek T, waarbij de koorde van die cirkelsector de juiste zijde vormt voor de rechthoek vormt.
Nu zeggen ze:
b=2*a*sin(T)
h=a*cos(T)-b/(2*tan(w))
Hierbij is de breedte en h de hoogte...
Ik heb reeds een tekening gemaakt (op papier, kan niet werken in paint en heb geen scanner....), maar ik zie niet goed hoe je hier aan komt?
Kan iemand me helpen?
Laatste berichten
-
08:24
Schroefdraad berekening 7
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Maximum bepalen met afgeleide
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.116
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Ik zou toch even proberen om een tekening hier op te krijgen. Erg duidelijk is het allemaal niet.
Bedoel je gewoon dat de vraag is:
- Je hebt een cirkelsegment met een booghoek van 2*w radialen en straal a?
- Vind binnen dit cirkelsegment de grootst mogelijke rechthoek?
Je bent met mij eens dat deze rechthoek twee zijden evenwijdig heeft t.o.v. de lijn die vanuit het middelpunt naar de helft van de booglengte van het cirkelsegment loopt? En twee zijden die daar een rechte hoek op maken?
Bedoel je gewoon dat de vraag is:
- Je hebt een cirkelsegment met een booghoek van 2*w radialen en straal a?
- Vind binnen dit cirkelsegment de grootst mogelijke rechthoek?
Je bent met mij eens dat deze rechthoek twee zijden evenwijdig heeft t.o.v. de lijn die vanuit het middelpunt naar de helft van de booglengte van het cirkelsegment loopt? En twee zijden die daar een rechte hoek op maken?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Die tweede cirkelsector heeft openingshoek 2T met T<w.
Waarom is de zijde b evenwijdig de koorde gelegd? Is dat gegeven?
Waarom is de zijde b evenwijdig de koorde gelegd? Is dat gegeven?
-
- Berichten: 288
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Wel, niet in de oorspronkelijke opgave. Maar er stond als hint:
we kunnen beredeneren dat de maximale oppervlakte zal worden bereikt als de rechthoek symmetrisch ligt tov de bissectrice van de openingshoek van de sector
[en dus een zijde evenwijdig met de koorde zal hebben]
En op je vorige vraag is het antwoord twee keer ja
we kunnen beredeneren dat de maximale oppervlakte zal worden bereikt als de rechthoek symmetrisch ligt tov de bissectrice van de openingshoek van de sector
[en dus een zijde evenwijdig met de koorde zal hebben]
En op je vorige vraag is het antwoord twee keer ja
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Maximum bepalen met afgeleide
OK.
De b en h zijn juist, heb je daar een vraag over?
De b en h zijn juist, heb je daar een vraag over?
-
- Berichten: 288
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Ja, eigenlijk vooral daarover....
Ik weet wel hoe je normaal maxima bepaalt met afgeleiden, maar ik zie niet hoe je aan die b en h geraakt...
Het is al een tijdje geleden dat ik met cirkelsectors en dergelijke heb gewerkt...
Ik weet wel hoe je normaal maxima bepaalt met afgeleiden, maar ik zie niet hoe je aan die b en h geraakt...
Het is al een tijdje geleden dat ik met cirkelsectors en dergelijke heb gewerkt...
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Heb je een goede tekening? Laat die eens zien.
-
- Berichten: 288
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Wel zoals ik al zei:Heb je een goede tekening? Laat die eens zien.
"Ik heb reeds een tekening gemaakt (op papier, kan niet werken in paint en heb geen scanner....), maar ik zie niet goed hoe je hier aan komt?"
Maar mijn leerkracht zei wel dat de tekening goed was, dus ja...
Ik wil wel proberen in paint maar ik denk dat ze dan nogal onduidelijk zal zijn.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Maximum bepalen met afgeleide
OK, je hebt een sector met symmetrielijn. Je hebt b met snijptn AB op de cirkel en ABCD als rechthoek op de omtrek van de sector, middelpunt M. Noem de snijptn van de symmetrielijn met DC en AB resp Q en P. Dan zijn er twee rechth drhkn MPA en MQD met PA=QD=b/2. <QMD=w en <PMA=T. MA=a.
Nu volgt: sin(T)=(b/2)/a => b=2asin(T)
Verder: cos(T)=MP/a => MP=acos(T)
Stel MQ=x => tan(w)=(b/2)/x => x=(b/2)/tan(w)=b/(2tan(w)), dus h=MP-MQ=acos(T)-x=acos(T)-b/(2tan(w)).
Ga dit zorgvuldig na!
Nu volgt: sin(T)=(b/2)/a => b=2asin(T)
Verder: cos(T)=MP/a => MP=acos(T)
Stel MQ=x => tan(w)=(b/2)/x => x=(b/2)/tan(w)=b/(2tan(w)), dus h=MP-MQ=acos(T)-x=acos(T)-b/(2tan(w)).
Ga dit zorgvuldig na!
-
- Berichten: 1.116
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Stel we hebben een cirkelsegment A met een booghoek 2w. En we hebben ook nog een cirkelsegment met hoek 2T. De bisectrices van beide cirkelsegmenten liggen over elkaar.
De voorwaarde die geldt is:
Je krijgt dan deze situatie (heb hem maar even getekend voor je, had je zelf naar mijn mening ook heel goed kunnen doen, ondanks dat je geen scanner hebt of het in paint kunt doen (er ook al aan gedacht dat een camera ook werkt?)).
.
Als je deze situatie ziet, is b sowieso vrij eenvoudig te berekenen. Vervolgens moet h ook niet meer moeilijk zijn.
b bestaat uit de kortste afstand tussen de twee uiterste punten van de koorde die de cirkelsector T gemeen heeft met de omtrek van de cirkel. Deze kun je eenvoudig berekenen met twee driehoekzijden te berekenen. Namelijk, twee keer een driehoek met schuine zijde met lengte a en hoek van T.
SOS:
De voorwaarde die geldt is:
\(\angle T \leq \angle w (\leq 90°)\)
. Dat laatste is niet gegeven, maar kun je opmaken uit je tekening en tevens uit de formules die gegeven zijn.Je krijgt dan deze situatie (heb hem maar even getekend voor je, had je zelf naar mijn mening ook heel goed kunnen doen, ondanks dat je geen scanner hebt of het in paint kunt doen (er ook al aan gedacht dat een camera ook werkt?)).
- cirkelsectoren.GIF (6.81 KiB) 303 keer bekeken
Als je deze situatie ziet, is b sowieso vrij eenvoudig te berekenen. Vervolgens moet h ook niet meer moeilijk zijn.
b bestaat uit de kortste afstand tussen de twee uiterste punten van de koorde die de cirkelsector T gemeen heeft met de omtrek van de cirkel. Deze kun je eenvoudig berekenen met twee driehoekzijden te berekenen. Namelijk, twee keer een driehoek met schuine zijde met lengte a en hoek van T.
SOS:
\(\sin(\angle T) = \frac{[overstaand]}{[schuin]} \longrightarrow [overstaand] = [schuin] \cdot \sin(\angle T) = a \cdot \sin(\angle T) = \frac{1}{2}b \longrightarrow b = 2a \sin(\angle T)\)
Als je deze situatie zo ziet, druk dan h eens uit?-
- Berichten: 1.116
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Het stuk van Safe even gevisualiseerd:
.
Hierin geldt dat
Je rekent eerst het lijnstuk PR uit en trekt daar het lijnstuk QR vanaf:
- cirkelsectoren.GIF (7.05 KiB) 303 keer bekeken
Hierin geldt dat
\(PQ = h\)
.Je rekent eerst het lijnstuk PR uit en trekt daar het lijnstuk QR vanaf:
\(PR = a \cdot \sin(90° - \angle T) = a \cdot \sin(\angle T)\)
(substitutie: \(\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(90° - x)\)
).\(QR = ½b \cdot \tan(90° - \angle w) = \frac{b}{2 \cdot \tan(\angle w)}\)
(substitutie: \(\tan x =& \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \frac{1}{\tan\left(90° - x\right)}\)
)\(h = PQ = PR - QR = a \cdot \sin(\angle T) - \frac{b}{2 \cdot \tan(\angle w)}\)
-
- Berichten: 2.609
Re: Maximum bepalen met afgeleide
@JWvdVeer, ik volg dit topic niet echt grondig, maar je tekening verwart me. Is de opgave niet van een rechthoek te vinden die binnen de cirkelsector, gedefiniëerd door de hoek 2w past? Ik denk niet dat je de uitleg van Safe correct getekend hebt.
Hier een juiste tekening (ze is niet zo heel duidelijk, maar met de uitleg van Safe erbij zou ze moeten helpen).
Hier een juiste tekening (ze is niet zo heel duidelijk, maar met de uitleg van Safe erbij zou ze moeten helpen).
Safe schreef:OK, je hebt een sector met symmetrielijn. Je hebt b met snijptn AB op de cirkel en ABCD als rechthoek op de omtrek van de sector, middelpunt M. Noem de snijptn van de symmetrielijn met DC en AB resp Q en P. Dan zijn er twee rechth drhkn MPA en MQD met PA=QD=b/2. <QMD=w en <PMA=T. MA=a.
Nu volgt: sin(T)=(b/2)/a => b=2asin(T)
Verder: cos(T)=MP/a => MP=acos(T)
Stel MQ=x => tan(w)=(b/2)/x => x=(b/2)/tan(w)=b/(2tan(w)), dus h=MP-MQ=acos(T)-x=acos(T)-b/(2tan(w)).
Ga dit zorgvuldig na!
- Bijlagen
-
- vraafstuk_cirkelsector.jpg (25.46 KiB) 303 keer bekeken
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Maximum bepalen met afgeleide
@Xenion,
Bedankt voor de tekening, eigenlijk vond ik dat hij de tekening zelf moest maken. Ik hoop dat het 6wewia nu iig lukt.
Bedankt voor de tekening, eigenlijk vond ik dat hij de tekening zelf moest maken. Ik hoop dat het 6wewia nu iig lukt.
-
- Berichten: 1.116
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Xenion: we hebben exact dezelfde tekening. Alleen heb ik de punten iets anders genoemd dan jij en Safe. Ik was namelijk al bezig met de visualisatie toen ik de reactie van Safe pas zag (had hem gewoon gemist en had de tekening toen al gemaakt), vandaar dat ze niet exact dezelfde noemers gebruiken. Maar het idee is exact hetzelfde.
Daarnaast Heb ik ook gedacht vanuit het middelpunt. Terwijl ik het idee heb dat Safe gedacht heeft vanuit
Daarnaast Heb ik ook gedacht vanuit het middelpunt. Terwijl ik het idee heb dat Safe gedacht heeft vanuit
\(\angle DAM = \angle T\)
, waardoor minder of geen substitutie nodig was om hetzelfde idee te bereiken.-
- Berichten: 2.609
Re: Maximum bepalen met afgeleide
Je hebt gelijk, ik was een beetje in de war omdat je cirkelsector zo'n grote hoek heeftXenion: we hebben exact dezelfde tekening.
Als illulstratie van Safe's uitleg is hij wel niet correct, qua benamingen (zoals je zelf al aangeeft).@Safe, dat dacht ik wel, maar ik ging ervan uit dat jouw uitleg in combinatie met de illustratie van JWvdVeer alleen maar voor meer verwarring zou zorgen, aangezien ze niet compatibel zijn ](*,)
De uitleg had hij overigens ook zelf moeten vinden, meestal vertrek je van de tekening, niet van de oplossing.
