Lijkt me niet helemaal compleet, waarom zou bijvoorbeeld x=-4/9 niet in het domein zitten? Aangezien
\(\log_{-1/3}\left(\frac{1}{9}\right)=2\)
.Of
\(x=-\frac{1}{4}(3+\sqrt{3})\)
, en zo zijn er volgens mij nog oneindig veel geldige x < -1/3.Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Logaritme met negatief grondtal
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 5.679
Logaritme met negatief grondtal
Afgesplitst vanuit dit topic.
Lijkt me niet helemaal compleet, waarom zou bijvoorbeeld x=-4/9 niet in het domein zitten? Aangezien
Of
Lijkt me niet helemaal compleet, waarom zou bijvoorbeeld x=-4/9 niet in het domein zitten? Aangezien
Of
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritme met negatief grondtal
De log voor pos reële getallen is alleen gedefinieerd voor positieve grondtallen (waarom niet voor 1?)Rogier schreef:Lijkt me niet helemaal compleet, waarom zou bijvoorbeeld x=-4/9 niet in het domein zitten? Aangezien\(\log_{-1/3}\left(\frac{1}{9}\right)=2\).
Of\(x=-\frac{1}{4}(3+\sqrt{3})\), en zo zijn er volgens mij nog oneindig veel geldige x < -1/3.
-
- Berichten: 5.679
Re: Logaritme met negatief grondtal
Ik begrijp waarom niet voor 1, maar zoals al is opgemerkt zijn logaritmen en exponentiële functies elkaars inverse:De log voor pos reële getallen is alleen gedefinieerd voor positieve grondtallen (waarom niet voor 1?)
\(\log_a(b)=c \Leftrightarrow a^c=b\)
Dus waarom zou bijvoorbeeld \(\log_{-2}(4)\)
of \(\log_{-2}(-8)\)
niet gedefinieerd zijn? (met respectievelijk uitkomsten 2 en 3)Let wel, ik houd het nog even bij reële situaties, geen complexe of imaginaire toestanden.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritme met negatief grondtal
Denk je de grafiek te kunnen tekenen van:
\(f(x)=\log_{-2}(x)\)
Is dit een continue functie?-
- Berichten: 5.679
Re: Logaritme met negatief grondtal
Ja, en ja:Safe schreef:Denk je de grafiek te kunnen tekenen van:
\(f(x)=\log_{-2}(x)\)Is dit een continue functie?
Het domein van deze functie is
\(\left\{-(2^{p/q})\ |\ p,q\in\zz^*\right\} \cup \left\{2^{(p+1)/q}\ |\ p,q\in\zz^*\right\}\)
waarbij \(\zz^* = \{2n+1\ |\ n\in\zz\}\)
, de verzameling der oneven getallen. Dit domein ligt dicht in
\(\rr\)
, vandaar dat de grafiek eruit ziet als een doorlopende lijn, maar er zitten infinitesimaal kleine onderbrekinkjes tussen. De functie is wel continu.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritme met negatief grondtal
Laat nu anderen maar eerst reageren ...
Re: Logaritme met negatief grondtal
Wat al dan niet gedefinieerd is hangt ten dele van de auteur af die je raadpleegt. Er is in de wiskunde een zekere speelruimte om zaken te definiëren hoe je dat zelf leuk vindt, zolang het maar logisch sluitende definities zijn. Daarom heeft het ook geen zin te discussiëren over de vraag of iets in de wiskunde wel of niet gedefinieerd is, behalve in die gevallen waarin geen logisch sluitende definitie mogelijk is.
-
- Berichten: 5.679
Re: Logaritme met negatief grondtal
Misschien valt er te discussiëren over de vraag of een bepaalde definitie logisch sluitend is? Mij lijkt het vrij voor de hand liggend watDaarom heeft het ook geen zin te discussiëren over de vraag of iets in de wiskunde wel of niet gedefinieerd is, behalve in die gevallen waarin geen logisch sluitende definitie mogelijk is.
\(\log_{-2}(x)\)
is (conform bovenstaande gewoon een nette, welgedefinieerde, continue functie) maar vanwege het ietwat vreemde domein zijn daar misschien twijfels over? Aan de andere kant, geldt dat niet ook voor een functie als bijvoorbeeld tan(x), waar doorgaans toch geen discussie over bestaat?In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: Logaritme met negatief grondtal
Hoe definieer je onderstaande:Misschien valt er te discussiëren over de vraag of een bepaalde definitie logisch sluitend is? Mij lijkt het vrij voor de hand liggend wat\(\log_{-2}(x)\)is (conform bovenstaande gewoon een nette, welgedefinieerde, continue functie) maar vanwege het ietwat vreemde domein zijn daar misschien twijfels over? Aan de andere kant, geldt dat niet ook voor een functie als bijvoorbeeld tan(x), waar doorgaans toch geen discussie over bestaat?
\( (-2)^{\frac{a}{b}} \)
(met b 
0)voor gehele getallen a en b?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Logaritme met negatief grondtal
@Rogier: Druk -2log x eens uit met behulp van natuurlijke logaritmen door uit te gaan van
\(^g\log x=\frac{\ln x}{\ln g}\)
. Wat is nu je conclusie met betrekking tot -2log x?"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 5.679
Re: Logaritme met negatief grondtal
Die bestaat alleen als b oneven is, negatieve getallen kun je alleen tot rationale machten verheffen met oneven noemer (als we de zaak reëel houden althans).Bartjes schreef:Hoe definieer je onderstaande:
\( (-2)^{\frac{a}{b}} \)(met b
voor gehele getallen a en b?
En dan is het
\(2^{\frac{a}{b}}\)
als a even is, en \(-(2^\frac{a}{b})\)
als a oneven is.Grafiek van
\(f(x)=(-2)^x\)
:
Het domain is dus
\(\left\{\frac{p}{q}\ |\ p\in\zz, q\in\zz^*\right\}\)
, in tegenstelling tot \(\log_{-2}(x)\)
is deze functie niet continu.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: Logaritme met negatief grondtal
Die bestaat alleen als b oneven is, negatieve getallen kun je alleen tot rationale machten verheffen met oneven noemer (als we de zaak reëel houden althans).
Dat betekent dan dat
\((-2)^{\frac{a}{b}}\)
bestaat, maar \((-2)^{\frac{2a}{2b}}\)
niet. Eigenlijk definieer je dan niet \( (-2)^x \)
maar \((-2)^{\frac{a}{b}} \)
, oftewel een functie van twee argumenten. Door allerlei gevallen te onderscheiden, zal je je definitie waarschijnlijk wel kunnen doorzetten, maar erg elegant wordt het niet. Ik vermoed dat men er daarom maar liever niet aan begint.-
- Berichten: 5.679
Re: Logaritme met negatief grondtal
Volgens mij maak jij dat er nu van, door a/b en 2a/2b als twee verschillende getallen te zien?Dat betekent dan dat\((-2)^{\frac{a}{b}}\)bestaat, maar\((-2)^{\frac{2a}{2b}}\)niet. Eigenlijk definieer je dan niet\( (-2)^x \)maar\((-2)^{\frac{a}{b}} \), oftewel een functie van twee argumenten.
Ik definieer (-2)^x gewoon als eenduidige functie voor bepaalde rationale argumenten x (om eventuele ambiguïteit uit te sluiten kun je toevoegen dat je
\(x\in\qq\)
uitdrukt als a/b met ggd(a,b)=1). Het lijkt mij een heldere welgedefinieerde functie die ook aansluit bij wat je "mag verwachten" of waarvan je intuïtief aanvoelt wat het moet zijn (voor mij wel althans, er lijkt me geen zinnig alternatief, en zeggen dat het niet bestaat vind ik als een raar gemis aanvoelen).
Is er iets mis met
\(\sqrt[3]{-8}=-2\)
? Dit is in essentie hetzelfde. De functie \(f(x)=x^3\)
is sowieso een nette, triviale, continue functie \(\rr\rightarrow\rr\)
, en bijectief dus inverteerbaar. Ik vind het dan juist gekunsteld overkomen als je zegt dat de inverse \(g(x)=\sqrt[3]{x}\)
maar voor de helft bestaat. Idem voor andere oneven-machtswortels. En vanaf \(x^{1/b}=\sqrt[b]{x}\)
naar \(x^{a/b}=\sqrt[b]{x^a}\)
lijkt me een logisch gevolg. Waarbij a/b dus geen aparte argumenten zijn, het gaat nog steeds gewoon om \(x^q\)
waarbij \(q\in\qq\)
en waarbij het domein (een deelverzameling van \(\qq\)
) zo groot mogelijk wordt genomen als redelijkerwijs kan.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: Logaritme met negatief grondtal
Ik wil best geloven dat er ook voor negatieve grondtallen nog van alles mogelijk is, maar eerst moet je je al tot rationale exponenten bepalen en vervolgens ook nog de ggd erbij halen. De vraag is dan, loont dat de moeite? En dat hangt er maar net van af wat je van plan bent.Rogier schreef:Volgens mij maak jij dat er nu van, door a/b en 2a/2b als twee verschillende getallen te zien?
Ik definieer (-2)^x gewoon als eenduidige functie voor bepaalde rationale argumenten x (om eventuele ambiguïteit uit te sluiten kun je toevoegen dat je\(x\in\qq\)uitdrukt als a/b met ggd(a,b)=1).
-
- Berichten: 400
Re: Logaritme met negatief grondtal
Zo raar is de voorwaarde op x niet. Het idee van het schrijven van een rationaal getal als 'ontbinding in priemfactoren' waarbij de exponenten gehele getallen zijn, dus ook negatieve waarden kunnen aannemen, is de opstap tot p-adische getallen. Hier moet de 'exponent van 2' dus een natuurlijk getal zijn (0,1,2...). Rigoureuser spreekt men van de 2-orde (of 2-adische orde). De voorwaarde op het rationaal getal x kan dus mooi neergeschreven worden als
\(\text{ord}_2 x\geq 0\)
.