chemie op z'n best

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 16-02-'06, 13:45

PeterPan

chemie op z'n best

Afbeelding

A en B zijn identieke vaten. A is volledig gevuld met vloeistof X en B met Y.

De vaten zijn verbonden door een buisje met een kraantje. Er zijn 2 kraantjes (zie tekening).

Op tijdstip 0 worden beide kraantjes volledig opengedraaid. De vloeistof in vat B wordt constant goed omgeroerd, zodat de vloeistof in B altijd homogeen is. De vloeistoffen zijn prima mengbaar.

Als vat A geheel is leeggelopen worden de kraantjes gesloten. Wat is op dat moment de verhouding tussen X en Y in vat B?
Omhoog

Bericht 16-02-'06, 14:24

Brinx

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.433

Re: chemie op z'n best

De verhouding
\(x:y\)
is uiteindelijk
\(e - 1\)
, volgens mij.

Uitwerking: Stel het totale volume V van ieder vat op 1, en stel het volumetransport per seconde van vat A naar vat B ook op 1 (eenheden doen er hier niet toe). Noem het volume aan stof X in van B
\(x\)
en noem het volume aan stof Y in vat B
\(y\)
. Nu geldt:
\(x(0) = 0\)
\(y(0) = 1\)
En de vergelijkingen voor de afgeleides zijn:
\(\frac{dx}{dt} = 1 - x\)
(1 is het instromende volume, en het uitstromende volume is evenredig met de verhouding x/V waarbij V het totale volume van het vat is).
\(\frac{dy}{dt} = -y\)
Uit de tweede afgeleide, gecombineerd met de beginvoorwaarde voor y, kun je afleiden dat:
\(y(t) = e^{-t}\)
.

Aangezien het volumetransport per tijdseenheid gelijk is aan het totale tankvolume kun je gewoon 1 invullen voor t en krijg je:
\(y(1) = e^{-1}\)
.

Dit betekent dat:
\(x(1) = 1 - y(1) = 1 - e^{-1}\)
Delen van x door y levert:
\(\frac{x}{y} = \frac{1 - e^{-1}}{e^{-1}} = e - 1\)
.

Klopt 'ie zo?
Omhoog

Bericht 16-02-'06, 14:48

PeterPan

Re: chemie op z'n best

Het antwoord klopt en de redenering ook.

Aardiger is het om het als volgt te doen. Volume vat A stel ik op 1.

Verdeel vat A in N gelijke partjes. Telkens laat ik er 1/N uit vat A lopen en bekijk hoeveel Y dan overblijft in vat B.

De eerste keer: In vat A is nog over 1-1/N en in vat B is 1/N van vloeistof Y weggelopen, dus over 1-1/N van vloeistof Y.

De 2dekeer:In vat A is over 1-2/N en in vat B is 1/N van 1-1/N van stof Y weggelopen. Over (1-1/N)-1/N(1-1/N) = (1-1/N)2.

De 3dekeer:In vat A is over 1-3/N en in vat B is 1/N van (1-1/N)2 van stof Y weggelopen. Over (1-1/N)2-1/N(1-1/N)2 = (1-1/N)3.

...

De Ndekeer:In vat A is over 1-N/N=0 en in vat B is 1/N van (1-1/N)N-1 van stof Y weggelopen. Over (1-1/N)N-1-1/N(1-1/N)N-1 = (1-1/N)N.

We moet het limietgeval bekijken met N :roll: :P .

Als vat A leeg is bevat vat B limn :P :P (1-1/N)N = 1/e van stof Y en dus 1-1/e van stof X.

[/u]
Omhoog

Bericht 16-02-'06, 14:51

Brinx

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.433

Re: chemie op z'n best

De manier die je voorstelt klinkt alsof die meer werk kost :roll: Maar het zal wel liggen aan de bekendheid van de oplosser met de specifieke methode (ik ben niet zo'n rijtjes-en-reeksjes man).
Omhoog

Bericht 16-02-'06, 14:57

PeterPan

Re: chemie op z'n best

De manier die je voorstelt klinkt alsof die meer werk kost :D Maar het zal wel liggen aan de bekendheid van de oplosser met de specifieke methode (ik ben niet zo'n rijtjes-en-reeksjes man).
Het opstellen van een differentiaalvergelijking wordt niet door iedereen als eenvoudig ervaren. Mijn methode moet goed te volgen zijn.

Bovendien krijg ik als oplossing limN :roll: :P (1 - 1/N)N en dat is toch ook aardig.

In feite zou je kunnen zeggen dat met beide methoden wordt aangetoond dat limN :P :P (1 - 1/N)N = 1/e.

Leuk toch :D .
Omhoog

Bericht 16-02-'06, 15:05

Brinx

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.433

Re: chemie op z'n best

Daar heb je wel een punt mee :roll:

Grappig trouwens:
\(\lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^{x} = e\)
, en
\(\lim_{x \to \infty} (1 - 1/x)^{x} = e^{-1}\)
.
Omhoog

Bericht 17-02-'06, 07:30

Elmo

Gebruikersavatar
Berichten: 3.437

Re: chemie op z'n best

Ik had hier een onzinnig antwoord gegeven, waar ik door TD! op gewezen werd (waarvoor dank). Om de thread duidelijk en leesbaar te houden, heb ik mijn antwoord en TD!'s reactie maar verwijderd.
Never underestimate the predictability of stupidity...
Omhoog

Bericht 17-02-'06, 11:34

Lensos

Gebruikersavatar
Berichten: 33

Re: chemie op z'n best

Brinx schreef:Daar heb je wel een punt mee :roll:

Grappig trouwens:
\(\lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^{x} = e\)
, en
\(\lim_{x \to \infty} (1 - 1/x)^{x} = e^{-1}\)
.
Ah ja, want:
\(\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^{x} = e^{a}\)
.
You and your big words. . .and your small difficult words
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”