Wetenschapsforum

Hoi,

Ik heb de volgende differentiaalvergelijking:

u''+w^2*u=0

Iedere keer als ik differentiaalvergelijkingen tegenkom raak ik in de war. Soms wordt er een e-macht gebruikt om het op te lossen, en soms een (co)sinuscombinatie. Wat is nou precies het verschil en wanneer kun je welke het beste gebruiken?

Voor de duidelijkheid: we hebben het hier over lineaire differentiaalvergelijkingen van willekeurige orde, maar met constante coëfficiënten. Van de homogene vergelijking kan je dan een karakteristieke vergelijking opstellen, daarvan zoek je de wortels (nulpunten). Je kunt altijd e-machten gebruiken, als z (eventueel complex) een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan is:
een oplossing van de differentiaalvergelijking (indien die gegeven is als y in functie van x). Als z reëel is, laten we de oplossing meestal zo staan. Als z echter complex is en we willen de oplossing in reële vorm, dan kunnen we sinus en cosinus gebruiken.

Voor lineaire differentiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënten zullen complexe wortels steeds in complex toegevoegde paren komen. Als z = a+bi een wortel is, dan is z* = a-bi er ook een. In complexe notatie heb je dan oplossingen van de volgende vorm:
We kunnen e^a steeds afzonderen, dit is volledig reëel. Wat kunnen we doen met e^(ib) en e^(-ib)? Er geldt:
Dus we kunnen het al herschrijven naar cos(b)+i.sin(b) en cos(b)-i.sin(b), dit zijn nog steeds oplossingen. Aangezien de vergelijking lineair is, zijn lineaire combinaties hiervan ook nog steeds oplossingen. Bijgevolg zijn cos(b) en sin(b) ook oplossingen, dus we kunnen als oplossing schrijven:
Dit is de algemene oplossing in reële vorm in het geval van complexe wortels z = a+bi en z = a-bi.

Je ziet nu duidelijk de bijzondere gevallen:

- de wortel is reëel, dus er is enkel a (b = 0), dan heb je alleen die exponentiële als oplossing,

- de wortel is zuiver imaginair, er is enkel b (a = 0), je hebt dan een lineaire combinatie van sinus en cosinus.

Samengevat om op je vraag terug te komen: je kan altijd de exponentiële functie gebruiken voor de oplossingen, maar bij (al dan niet zuiver) imaginaire wortels, kunnen we de oplossing nog steeds in reële vorm noteren door sinus en cosinus te gebruiken voor het imaginaire deel van de wortel(s).