Reeks berekenen

Phys

Bereken

\(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(3n)!}\)

door een geschikt gekozen differentiaalvergelijking op te lossen.

Iemand enig idee? Ik heb geen idee welke diff.vgl. te kiezen...

TD

Het is voor mij (te) lang geleden dat ik differentiaalvergelijkingen heb opgelost door reeksontwikkeling (en door het niet meer te gebruiken, is dat dus wat in de vergetelheid geraakt...). Maar heb je geen opgaven gemaakt die iets gelijkaardigs opleverden als coëfficiënten (bvb x^n/(2n)! ofzo, dan x = 1 nemen). Misschien lukt het dan om via "reverse engineering" een gepaste DV op te stellen.

Phys

Bedankt voor je antwoord (had al gehoopt dat je zou antwoorden

). Ik ben helaas geen coëfficiënten die hierop lijken (1/(3n)!) tegengekomen...(deze vraag was ook opgegeven, maar daar lijk ik niets aan te hebben).

Maar stel ik heb een diff. vgl. waarvan de oplossing blijkt te zijn

\(y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)

met

\(a_n=\frac{1}{(3n)!}a_0,a_0=1\)

bijvoorbeeld. Dan moet je de diff.vgl. ook op een andere manier op zien te lossen m.b.v. elementaire functies, om x=1 in te kunnen vullen en er een antwoord uit te krijgen, toch?

Overigens, Mathematica zegt:

\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(3n)!}=\frac{e^{\frac{3}{2}}+2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{3\sqrt{e}}}\)

TD

Dan moet je de diff.vgl. ook op een andere manier op zien te lossen m.b.v. elementaire functies, om x=1 in te kunnen vullen en er een antwoord uit te krijgen, toch?

Dat lijkt me de bedoeling ja: een "eenvoudige differentiaalvergelijking" (i.e. eentje die je met "gewone methodes" kan oplossen) opstellen die bij reeksontwikkeling aanleiding zou geven tot een oplossing (coëfficiënten) die je leiden tot die reeks. Ik zou er langer naar willen kijken en zoeken, maar moet de rest van de dagen studeren voor m'n examen van morgen

Phys

Mocht iemand nog geïnteresseerd zijn: je herkent in de reeks iets gelijkend op de e-macht, maar dan met alle coëfficiënten a_n=0 voor n geen veelvoud van 3. Dus

\(e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\)

\(\mbox{ en }\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(3n)!}=1+0+0+\frac{1}{3!}+0+0+\frac{1}{6!}+\cdots\)

Dus, na even denken, merk je dat de volgende relatie voldoet:

\(a_{n+3}=\frac{a_n}{(n+1)(n+2)(n+3)}\)

met

\(a_0=1,a_1=a_2=0\)

.

De noemer, met een (n+3), duidt op een derde afgeleide. Bekijk nu de volgende differentiaalvergelijking:

\(y'''-y=0\)

, met

\(y(0)=1,y'(0)=a_1=0,y''(0)=2a_2=0\)

. Als je er een reeks

\(y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\)

instopt, kom je precies op bovenstaande recurrente betrekking uit.

Deze diff.vgl. oplossen levert, na enige rekenwerk,

\(y(x)=\frac{1}{3}e^{-x/2}\left(e^{3x/2}+2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right)\)

.

Nu geldt dus

\(y(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(3n)!}=\frac{e^{3/2}+2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{3\sqrt{e}}\)

zoals Mathematica me vertelde

Toch een leuke opgave (als je eruit komt...)

TD

Mooi gevonden, nu hoef (kan...) ik zelf niet meer te zoeken

Morzon

Ik heb eergisteren ook even mee gespeeld in de trein door op metro en spits te schrijven, maar dat werd heel snel heel onduidelijk.

Goed dat je nog het antwoord geeft! Is een leuk opgave.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Reeks berekenen

Reeks berekenen

Re: Reeks berekenen

Re: Reeks berekenen

Re: Reeks berekenen

Re: Reeks berekenen

Re: Reeks berekenen

Re: Reeks berekenen