De schoonheid van wiskunde

Heidegger

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry. (Russell)

Post hier wat jij mooie/elegante wiskundige (calculus, algebra, etc.) bewijzen vindt (en waarom je dat bewijs zo mooi vindt).

Ik ben zelf wel gecharmeerd van simpele bewijzen in de Eucledische meetkunde, ik zal even een mooie opzoeken.

dirkwb

Ik ben zelf wel gecharmeerd van simpele bewijzen in de Eucledische meetkunde, ik zal even een mooie opzoeken.

Laat maar zien!

Verborgen inhoud

HosteDenis

Is het niet prachtig dat

\(\int^1_0 x^x \; dx = 1 - 2^2 + 3^3 - 4^4 + 5^5 - 6^6 + \cdots\)

Verborgen inhoud

Denis

Edit:

Of letterlijk, de formule die gestemd is tot de mooiste formule ooit:

\(e^{i \pi} +1 = 0\)

thermo1945

Een zeer fraaie verschijning in een willekeurige driehoek is de rechte van Euler.

Alle parabolen zijn gelijkvormig! Alle cirkels zijn gelijkvormig.

De stelling van Pythagoras vind ik ook een juweel.

En wat dacht je van de formule van Heron? Oppervlak van een driehoek = V{s(s – a)(s – b)(s – c)} waarin s = (a + b + c)/2

Heidegger

Zoiets vind ik persoonlijk bijvoorbeeld heel mooi:

Afbeelding

Driehoek ABC is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

Deze driehoek beschouwen we afzonderlijk, maar we plakken er nog eenzelfde (gelijkvormige) in het punt A aan vast.

We bekijken dus de twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken ABC en ADE.

Het zijn dus twee verschillende geodriehoeken die het rechtehoekpunt gemeenschappelijk hebben.

Stelling:

Voor elk tweetal gelijkbenige in A rechthoekige driehoeken ABC en ADE geldt

BD = CE en BD _|_ CE.

Bewijs:

Afbeelding

1)

AB=AC (gelijkbenig)

AE=AD (gelijkbenig)

<CAE=<CAD+<DAE

<BAD=<CAD+<BAC

<DAE=rechte hoek=<BAC

<CAE=<BAD

Driehoeken ACE en ADB zijn congruent (ZHZ).

Dus CE = BD.

Ook volgt hieruit:

<ECA = <PBA

2)In driehoek APB is <PBA + <APB = 90°, zodat in driehoek PCQ geldt (gelijk op bovenstaande gelijkheid van hoeken):

<ECA + <CPQ = 90°

Dus in die driehoek is <Q = 90°.

De lijnstukken BD en CE staan dus loodrecht op elkaar

Q.E.D.

plaatjes van http://www.pandd.demon.nl/lemoine/vanaubel.htm#1

Natuurlijk zitten in dit bewijs weer andere stellingen verstopt zoals congruentie bij ZHZ, maar dat zijn ook stuk voor stuk elegante stukjes wiskunde.

Heidegger

Alle parabolen zijn gelijkvormig!

Bewijs: pagina 3, 4

http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/simpara.pdf

Heidegger

Ik kan m'n vorige bericht niet editen, ik wil Denis vragen om een bewijs voor:

\(\int^1_0 x^x \; dx = 1 - 2^2 + 3^3 - 4^4 + 5^5 - 6^6 + \cdots\)

Erik Leppen

Ik denk dat de schoonheid van wiskunde meer zit in de beweringen dan in hun bewijzen. Je kan een hele mooie bewering heel lelijk bewijzen. Een mooi voorbeeld vind ik de bewering dat de som van de eerste n derdemachten gelijk is aan het kwadraat van de som van de erste n getallen:

\(\forall n \in \mathbb{N}: (1 + 2 + \cdots+ n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3\)

Je kan dat heel lelijk bewijzen door ervan uit te gaan dat er polynomen in n bestaan voor beide kanten en dan met inductie te laten zien dat die hetzelfde zijn (o.i.d.), maar ik heb ook een keer dit bewijs gevonden wat ik dan weer juist een erg mooi bewijs vind, voor dezelfde bewering.

Als ik moest zeggen wat ik mooie beweringen vind, dan ga ik binnen de meetkunde voor de stelling van Pappus/Pappos, die ik mooi vind omdat je zo veel dingen willekeurig mag kiezen. De cosinusregel vind ik ook wel een mooie (mede omdat Pythagoras er uit volgt).

Heidegger

Ja inderdaad, het zijn inderdaad vaak de stellingen die schoonheid bevatten.

Om nog even terug te komen op HosteDenis:

\(\int^1_0 x^x \; dx = 1 - 2^2 + 3^3 - 4^4 + 5^5 - 6^6 + \cdots\)

Moet dit niet eigenlijk zijn:

\(\int^1_0 x^x \; dx = 1 - 1/2^2 + 1/3^3 - 1/4^4 + 1/5^5 - 1/6^6 + \cdots\)

Heidegger

Dit is een mooi bewijsje toch:

Stelling:

De harmonische reeks

\(\sum_{0}^{\infty}\ 1/n\)

of wel

\(1/1 + 1/2+1/3+...\)

is divergent.

Bewijs:

Verdeel vanaf 1/2 de termen in groepjes van steeds dubbele grootte:

1/1,

+1/2,

+1/3 + 1/4,

+1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8,

..etc.

Deze groepjes zijn steeds groter of gelijk dan 1/2.

1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 (= 1/2)

1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 (=1/2)

Er zijn oneindig veel van dit soort groepjes, de totale som is dus oneindig.

HosteDenis

Heidegger schreef:Ja inderdaad, het zijn inderdaad vaak de stellingen die schoonheid bevatten.

Om nog even terug te komen op HosteDenis:

\(\int^1_0 x^x \; dx = 1 - 2^2 + 3^3 - 4^4 + 5^5 - 6^6 + \cdots\)
Moet dit niet eigenlijk zijn:

\(\int^1_0 x^x \; dx = 1 - 1/2^2 + 1/3^3 - 1/4^4 + 1/5^5 - 1/6^6 + \cdots\)

Ik heb het zo eens zien staan en dacht toen bij mezelf, "hé, dat is best leuk", vandaar dat ik het hier poste. Ik rekende het nog niet na, dus het zou kunnen dat het niet klopt. Eens zien, makkelijk is de integraal zeker niet.

\(\int^1_0 x^x \; dx = \int^1_0 e^{x \; \ln(x)} \; dx\)

en daar kan de Wolfram Integrator niets mee. Als iemand zin heeft deze oefening eens aan te nemen, ga je gang...

Denis

Heidegger

Bernoulli:

\(x^x = 1 + x*ln(x) + [x*ln(x)]^2 / 2! + [x*ln(x)]^3 / 3! + ... \)

en dan al die termen los integreren.

http://books.google.nl/books?id=QnXSqvTiEj...1&ct=result

thermo1945

Ik denk dat de schoonheid van wiskunde meer zit in de beweringen dan in hun bewijzen.

Vaak wel.

\(\forall n \in \mathbb{N}: (1 + 2 + \cdots+ n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3\)

Het aangehaalde bewijs is inderdaad een prachtige vondst.

Safe

Heidegger schreef:Zoiets vind ik persoonlijk bijvoorbeeld heel mooi:

Driehoek ABC is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

Deze driehoek beschouwen we afzonderlijk, maar we plakken er nog eenzelfde (gelijkvormige) in het punt A aan vast.

We bekijken dus de twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken ABC en ADE.

Het zijn dus twee verschillende geodriehoeken die het rechtehoekpunt gemeenschappelijk hebben.

Stelling:

Voor elk tweetal gelijkbenige in A rechthoekige driehoeken ABC en ADE geldt

BD = CE en BD _|_ CE.

Bekijk eens dit bewijs:

Beschouw de rotatie (tegenwijzerrichting) over 90 graden om punt A.

B -> C en D -> E , dus BD -> CE en omdat rotatie een congruentie-transformatie is volgt:

BD=CE en BD_|_CE.

Johan2

De Gulden Snede.

Ik geloof dat de gelinkte site erg klef is, maar ik kon zo snel geen andere kunstplaatjes vinden.

Voor de leukste uitleg van de GS en haar toepassingen en voorkomen: Donald Duck in Mathemagic land

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

De schoonheid van wiskunde

De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde

Re: De schoonheid van wiskunde