Moderators: dirkwb, Xilvo
-
- Berichten: 4.246
Hoe bereken je de onderstaande limieten?
1)
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} \)
2)
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \cos \left( \frac{ \pi}{ 2^2} \right) \cos \left( \frac{ \pi}{ 2^3} \right) \cdots \cos \left( \frac{ \pi}{ 2^n} \right) \)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 7.068
1)
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} \)
Met behulp van
Stirling? Je komt dan op
\(e\) uit (
maxima komt ook op
\(e\) uit).
-
- Berichten: 7.556
\(\lim_{n \to\infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\exp\log\left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\exp\left(\frac{1}{n}\log\left( \frac{n^n}{n!} \right)\right)=\exp\left(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\log\left( \frac{n^n}{n!} \right)\right)\right)=\exp(1)=e\)
maar dan moet je eerst weten hoe je berekent dat
\(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\log\left( \frac{n^n}{n!} \right)\right)=1\)
, en daar zul je vermoedelijk weer Stirling voor nodig hebben
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Met behulp van
Stirling? Je komt dan op
\(e\) uit (
maxima komt ook op
\(e\) uit).
Ik kom op
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^n e \)
Wat moet je dan doen?
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 6.905
Via dat trukje met de ...
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 7.556
Ik kom op
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^n e \)
Lijkt me niet, want dat gaat evident naar oneindig
Ergens een n en 1/n omgewisseld?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Lijkt me niet, want dat gaat evident naar oneindig
Ergens een n en 1/n omgewisseld?
Inderdaad het moet zijn:
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 7.556
Volgens mij moet dat wortelgeval in de noemer staan, maar goed dat maakt voor de limiet niet uit (0=-0).
Je hebt dus
\(e\sqrt{2\pi n}^{1/n}=e(2\pi n)^\frac{1}{2n}=e\exp\left(\log(2\pi n)^\frac{1}{2n}\right)=e\exp\left(\frac{1}{2n}\log(\pi 2n)\right)\to e\exp(0)=e\)
voor
\(n\to\infty\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 581
Beste Phys,
Ik ken Stirling's benadering:
\(n!\approx\sqrt{2\pi n}\cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n\)
Maar ik ben niet mee waarom
\( \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)
kan je mij hier even op weg zetten?
---WAF!---
-
- Berichten: 6.905
\(I=\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)
dan is
\(\ln I=\lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left \{ (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \right\}\)
nu kan je vereenvoudigen en verder rekenen.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 7.556
Westy schreef:Beste Phys,
Ik ken Stirling's benadering:
\(n!\approx\sqrt{2\pi n}\cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n\)
Maar ik ben niet mee waarom
\( \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)
kan je mij hier even op weg zetten?
Zoals ik al zei, volgens mij moet dat wortelgeval in de noemer komen te staan:
\(\left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n}=\frac{n}{(n!)^{1/n}}=\frac{n}{\left((2\pi n)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)^{1/n}}=\frac{n}{(2\pi n)^{\frac{1}{2n}}\cdot\frac{n}{e}}=\frac{e}{(2\pi n)^{\frac{1}{2n}}}=\frac{e}{\sqrt{2\pi n}^{1/n}}\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 581
Zoals ik al zei, volgens mij moet dat wortelgeval in de noemer komen te staan:
Ik had jouw post nog niet gezien toen ik de vraag stelde...
Maar zo klopt alles inderdaad.
---WAF!---
-
- Berichten: 7.556
Ik had jouw post nog niet gezien toen ik de vraag stelde...
het staat er onvriendelijker ("zoals ik al zei") dan ik bedoelde
Maar voor de limiet maakt het dus niets uit, want je krijgt dan
\(-\frac{1}{2n}\log(\pi 2n)\to 0\)
voor
\(n\to\infty\)
, het minteken heeft geen invloed.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 581
Aldus?
\(\lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{\log(\pi 2n)}{2n} = \lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{1/n}{2} = 0 \)
(met l'Hopital)
---WAF!---
-
- Berichten: 7.556
Aldus?
Wat bedoel je? De limiet is nul, dat zei ik toch ook? Of bedoel je of dit een correcte berekening is?
In ieder geval, met de 'exp-log'-truc wordt de limiet van de oospronkelijke opgave gelijk aan e, zoals
hier.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -