[wiskunde]inverse functies

Westy

Ik heb er nog eentje:

gegeven, de functie

\(f: A \rightarrow B\)

;

\(S \subset A\)

;

\(T \subset B\)

te bewijzen a)

\(f(f^{-1}(T)) \subseteq T \)

te bewijzen b)

\(f^{-1}(f(S)) \supseteq S \)

kan iemand mij op weg helpen?

Jan van de Velde

Welkom op het forum Huiswerk en Practica.

Jij wilt vlot hulp. Dat is alleen goed mogelijk als je daar zelf wat voor doet.

Naast de algemene regels van dit forum hebben we voor dit huiswerkforum een paar speciale regels en tips.

Die vind je in de huiswerkbijsluiter

In die huiswerkbijsluiter staat bijvoorbeeld:

VAKGEBIED-TAGS

Plaats het vakgebied waarop je vraag betrekking heeft tussen rechte haken in de titel.

bijv: [biologie] of [frans]. Zo blijft dit huiswerkforum overzichtelijk.

Hebben we even voor je gedaan. Denk je er de volgende keer zélf aan??

Phys

Je hebt vast iets geprobeerd?

a) Zij

\(y\in T\)

. Dan

\(f(f^{-1}(y))=y\in T\)

. Omdat

\(y\in T\)

willekeurig is, geldt dus

\(f(f^{-1}(T))\subset T\)

\\edit: hmm, met dezelfde redenering zou je deze uitspraak kunnen bewijzen voor S i.p.v. T. Bij b) wordt echter de omgekeerde inclusie gevraagd. Come to think of it, ik zou zelfs zeggen

\(f(f^{-1}(T))=T \)

en

\(f(f^{-1}(S))=S \)

, want f moet bijectief zijn om een inverse te hebben.

Drieske

a) Kies

\(y \in f(f^{-1}(T))\)

willekeurig. Daar b in het beeld ligt van de verzameling

\(f^{-1}(T)\)

onder f, bestaat er een

\(x \in f^{-1}(T)\)

zodat f(x)=b. Omdat

\(x \in f^{-1}(T)\)

, geldt verder dat

\( f(x) \in B\)

. Daar y willekeurig was, toont dit aan dat

\(f(f^{-1}(T)) \subseteq T \)

.

@phys: f moet enkel surjectief zijn om de gelijkheid te verkrijgen

b) Volgt op een analoge redeneerwijze, werk deze zelf maar eens uit

Phys

@phys: f moet enkel surjectief zijn om de gelijkheid te verkrijgen

Wat ik bedoel: een functie is inverteerbaar dan en slechts dan als deze bijectief is. Aangezien de functie inverteerbaar is (er wordt immers gesproken over een inverse), is hij bijectief, en dus geldt de gelijkheid.

Drieske

Wat ik bedoel: een functie is inverteerbaar dan en slechts dan als deze bijectief is. Aangezien de functie inverteerbaar is (er wordt immers gesproken over een inverse), is hij bijectief, en dus geldt de gelijkheid.

Zo mag je het echt waar niet zien, je neemt de inverse van verzamelingen (dus eigenlijk van relaties...); uw f-1 moet dus echt niet bijectief zijn.

Heb een vak waar we veel van dit soort oef maken en wil dus wel eens allerlei van dit soort oef moet inversen geven, en de gelijkheid geldt belange niet altijd

PS defintie van invers beeld: zij B een deelverzameling van Y. Dan is

\(f^{-1}(B)\)

de deelverzameling van X gegeven door:

\(f^{-1}(B)=\{x \in X|f(x) \in B\}\)

[/i]

Westy

a) Kies
\(y \in f(f^{-1}(T))\)
willekeurig. Daar b in het beeld ligt van de verzameling
\(f^{-1}(T)\)
onder f, bestaat er een
\(x \in f^{-1}(T)\)
zodat f(x)=b. Omdat
\(x \in f^{-1}(T)\)
, geldt verder dat
\( f(x) \in B\)
[/u]. Daar y willekeurig was, toont dit aan dat
\(f(f^{-1}(T)) \subseteq T \)
.

Beste Drieske,

Waarom mag je zeggen dat

\( f(x) \in B \)

in de onderstreepte zin hierboven? Vanwaar plots B, en niet T ?

-alvast bedankt-

Drieske

Westy schreef:Beste Drieske,

Waarom mag je zeggen dat
\( f(x) \in B \)
in de onderstreepte zin hierboven? Vanwaar plots B, en niet T ?

-alvast bedankt-

Ah srry, typfoutje, moet T zijn, ik ben gewoon te werken met f:A-->B, daarmee dat ik hier per ongeluk B heb gezet

Phys

Drieske schreef:Zo mag je het echt waar niet zien, je neemt de inverse van verzamelingen (dus eigenlijk van relaties...); uw f-1 moet dus echt niet bijectief zijn.

Heb een vak waar we veel van dit soort oef maken en wil dus wel eens allerlei van dit soort oef moet inversen geven, en de gelijkheid geldt belange niet altijd

Ik neem aan dat je bedoelt "hoeft niet bijectief te zijn" i.p.v. "moet niet bijectief zijn"?

Verder zou ik graag wat uitleg hierover horen. Het kan best zijn dat je gelijk hebt, maar autoriteitsargumenten zijn niet zo overtuigend

klik:

A function f is bijective if and only if its inverse relation f^-1 is a function. In that case, f^-1 is also a bijection.

klik:

A function f admits an inverse f^(-1) (i.e., "f is invertible") iff it is bijective.

Wat is hier anders?

Drieske

Wel, we nemen de inverse van een verzameling, er is nergens gezegd dat die inverse een functie moet zijn...

Het is dus juist het principe dat er meerdere waardes op eenzelfde waarde mogen worden afgebeeld. Makkelijkst om voor te stellen is natuurlijk met venn-diagrammen mar buiten in paint zou ik niet weten hoe ik een venn-diagram maak

Merk btw ook even op dat er niet staat dat f bijectief is, dus al helemaal niet dat f-1 zin heeft om te definieren als functie, je moet het echt zien als "ik keer mijn pijlpunt om en ga nu van T nr S".

EDIT: wat is het verschil tss hoeft en moet in dit geval?

Phys

Wel, we nemen de inverse van een verzameling, er is nergens gezegd dat die inverse een functie moet zijn...

Maar ik zou toch zweren dat er in de opgave staat:

gegeven, de functie
\(f:A\to B\)

Als f een functie is, lijkt het me dat f^-1 de inverse functie van f is?

Drieske

Ja, ik kan natuurlijk niet weten hoe jullie daar mee werken, maar aan de KULeuven geldt dat niet.

Maar het is dus een kwestie van afspraken, daar ben ik het wel mee eens

Bij ons is f-1 ook niet gedefinieerd als een functie maar als een verzameling, zoals een paar posts eerder reeds gezegd (heb btw gemerkt dat de accolades daar ontbreken omdat ik { ipv \{ heb gezet in latex-tags

)

Phys

(heb btw gemerkt dat de accolades daar ontbreken omdat ik { ipv \{ heb gezet in latex-tags )

ik heb het aangepast.

Westy

In mijn opgave / cursus is een functie van A naar B gedefinieerd als zijnde een relatie van A naar B waarbij elk punt van A precies 1 x voorkomt als 1ste component van een koppel in een relatie. Over de elementen van B is niets gezegd. en dus is een functie in deze definitie niet noodzakelijk bijectief.

(En een relatie van A naar B is gedefinieerd als een deelverzameling van AxB, zonder restricties)

Ik dacht dat het exact formuleren van de definities in een discussie zoals deze wel belangrijk is.

Drieske

Westy schreef:In mijn opgave / cursus is een functie van A naar B gedefinieerd als zijnde een relatie van A naar B waarbij elk punt van A precies 1 x voorkomt als 1ste component van een koppel in een relatie. Over de elementen van B is niets gezegd. en dus is een functie in deze definitie niet noodzakelijk bijectief.

(En een relatie van A naar B is gedefinieerd als een deelverzameling van AxB, zonder restricties)

Ik dacht dat het exact formuleren van de definities in een discussie zoals deze wel belangrijk is.

Zo is het bij mij ook gedefinieerd

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde]inverse functies

[wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies

Re: [wiskunde]inverse functies