[wiskunde] convolutie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 24-12-'08, 13:00

Homer

Berichten: 45

[wiskunde] convolutie

Volgens wikipedia zou gelden bij convolutie:
\(y = Dh(t) * x(t) = h(t) * Dx(t) \)
Ik pas dit toe op onderstaande twee functies:
\(h(t) = ( e^{-t}-e^{-2t} ) \cdot u(t)\)
\(x(t) = 10 \cdot cos(2\pi \cdot t) \cdot u(t)\)
Eerste methode: Als ik
\( Dh(t) * x(t)\)
uitreken dan bekom ik:
\(.2472897048 \cdot e^{-t}-.9208442300 \cdot e^{-2t}+.6735545252 \cdot cos(2\pi \cdot t)+1.338471536 \cdot sin(2\pi \cdot t)\)
Tweede methode Als ik
\( Dx(t) * h(t)\)
uitreken dan bekom ik:
\(-9.752710295 \cdot e^{-t}+9.079155770 \cdot e^{-2t}+.6735545252 \cdot cos(2\pi \cdot t)+1.338471536 \cdot sin(2\pi \cdot t)\)
Dit voorbeeld komt uit een oefening gezien in de les waarbij het resultaat bekomen met behulp van de tweede methode als correct werd beschouwd. Ik veronderstel dus dat er iets mis is in de eerste methode. Wat is nu de verklaring voor het feit dat ik twee verschillende uitkomsten bekom?

Ik heb voorlopig nog geen berekeningen uitgetypt aangezien dit totaal overbodig zou zijn als bovenstaande eigenschap niet klopt.

Alvast dank,
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 13:07

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] convolutie

zou je je tussenstappen eens kunnen posten? En je uitkomst vind ik niet echt goed leesbaar, laat getallen zo veel mogelijk exact staan. Schrijf ze niet decimaal.

en je gebruikt '*' zowel als convolutie en als scalaire vermenigvuldiging :D

Als je niet zeker bent van die eigenschap, probeer hem dan eens te bewijzen als oefening?
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 13:35

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] convolutie

Het bewijs is niet moeilijk, ik raad je aan om er zelf eens 15 minuten op te zoeken. Als je het dan nog niet vindt:

Verborgen inhoud
\(\frac{d}{dt}(x*y)=\frac{d}{dt} \int{x(t-\tau)y(\tau) dt}= \int{\frac{d}{dt}x(t-\tau)y(\tau) dt}=\int{ \dot{x}(t-\tau)y(\tau)+ x(t-\tau) \dot{y(\tau)} dt}= \int{ \dot{x}(t-\tau)y(\tau) dt} = \dot{x} * y \)
en wegens de commutativiteit (symetrie) van convolutie haal je er ook direct uit dat
\(\frac{d}{dt}(x*y)= x * \dot{y} \)
edit: :D eerst deed ik alsof y(tau) veranderlijk was, en dan constant, maar het komt hetzelfde uit (stapje teveel)


(hopelijk zonder fouten)
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 13:40

Homer

Berichten: 45

Re: [wiskunde] convolutie

Enkele tussenbewerkingen:

Methode 1:
\(y(t) = \int^{t}_{0} 10 \cdot cos(2\pi \cdot \tau) ( - e^{-(t-\tau)} + 2e^{-2(t-\tau)}) d\tau\)
\(y(t) = -10 e^{-t} \int^{t}_{0} cos(2\pi \cdot \tau) e^{\tau} d\tau + 20 e^{-2t} \int^{t}_{0} cos(2\pi \cdot \tau) e^{2\tau} d\tau\)
\(y(t) = .2472897048 \cdot e^{-t}-.9208442300 \cdot e^{-2t}+.6735545252 \cdot cos(2\pi \cdot t)+1.338471536 \cdot sin(2\pi \cdot t)\)
Methode 2:
\(y(t) = \int^{t}_{0} -20\pi \cdot sin(2\pi \cdot \tau) ( e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)}) d\tau\)
\(y(t) = -20 \pi e^{-t} \int^{t}_{0} sin(2\pi \cdot \tau) e^{\tau} d\tau + 20 \pi e^{-2t} \int^{t}_{0} sin(2\pi \cdot \tau) e^{2\tau} d\tau\)
\(y(t) = -9.752710295 \cdot e^{-t}+9.079155770 \cdot e^{-2t}+.6735545252 \cdot cos(2\pi \cdot t)+1.338471536 \cdot sin(2\pi \cdot t)\)
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 13:44

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] convolutie

hoe kom je aan die integralen van t tot 0?
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 13:53

Homer

Berichten: 45

Re: [wiskunde] convolutie

Dat is een beperking opgelegd in de cursus. We werken niet met negatieve tijden en beschouwen enkel causale systemen dus systemen die niet afhankelijk zijn van de toekomst.
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 13:59

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] convolutie

en is u(t) dan de functie die h en x causaal maken?
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 14:02

Homer

Berichten: 45

Re: [wiskunde] convolutie

Als h(t) causaal is dan geldt
\( h(t) = 0 \)
voor
\( t<0 \)
en
\(h(t-\tau)=0\)
voor
\(\tau>t \)
. In dat geval is de bovengrens van de convolutie-integraal t. En als x(t) causaal is kan de ondergrens van de convolutie-integraal vervangen worden door 0.

Dus ik denk inderdaad dat u(t) daar voor zorgt.
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 14:08

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] convolutie

Dat is de eenheidsstap (Heaviside). Deze kan denk ik eventeel weggelaten worden als je niet integreert van min oneindig tot plus oneindig.
\(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t) H(t) dt=\int_{0}^{+\infty}x(t) dt\)
met H=Heavisidedistributie.

Die grenzen zijn dus een gevolg van de Heaviside, en niet omgekeerd :D
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 14:10

Homer

Berichten: 45

Re: [wiskunde] convolutie

Heeft dit nu iets te maken met mijn twee verschillende uitkomsten? Ik ben trouwens vrij zeker dat de uitkomsten correct zijn aangezien ik ze ook eens door de computer heb laten berekenen. Waarschijnlijk maak ik ergens een fout waar ik mij niet van bewust ben zoals bijvoorbeeld verkeerde grenzen.
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 14:33

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] convolutie

heb je die oefening zelf verzonnen?

je neemt overal integraal van 0 tot t.

maar dat moet volgens mij overal van 0 tot oneindig zijn.

dan zie je dat beide integralen niet bestaan. y(t) bestaat dus niet.

Een slechte opgave denk ik, anders weet ik het ook niet.

en die heaviside bij x lijkt me nutteloos, het zijn systemen die causaal kunnen zijn, niet de functies.
Omhoog

Bericht 24-12-'08, 14:39

Homer

Berichten: 45

Re: [wiskunde] convolutie

Ik ben er haast zeker van dat de tweede uitkomst correct is. Ook als je voor x(t) andere signalen neemt komen de uitkomsten niet overeen. Waarschijnlijk loopt er dus iets fout wanneer ik h(t) afleid. Misschien mag dit niet zomaar.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”