Behoud van impulsmoment en energie

[wnvl1]

In het deeltje 'Trajcories in the Schwarzschild metric' stelt Schutz dat als de metriek tijdsonafhankelijk is, \(p_0\) een constante is (E). Analoog geldt dat als de metriek onafhankelijk is van \(\phi\), dat dan \(p_{\phi}\) constant is (L).

Later berekend hij dan

$$p^0 = g^{00}p_0=(1-2M/r)^{-1}E$$
$$p^{\phi}= g^{\phi\phi}p_{\phi} = L/r^2$$

Vraag is nu: hoe kan ik inzien dat het precies de p's met subindex zijn die constant zijn en niet met superindex.

[flappelap]

Volgt dat niet rechtstreeks uit de Euler-Lagrange vergelijkingen? B.v., L hangt niet af van t. Dus de part. afgeleide van L naar t is nul. Pas dan de Euler-Lagrange vergelijking toe met de Hamiltoniaanse definitie van impuls.

[wnvl1]

De Lagrangiaan is dan

$$L= - \sqrt{\left (1 - \frac {2M} {r} \right )(\frac{dt}{d\tau})^2 + \frac {1} {1 - 2M/r} (\frac{dr}{d\tau})^2 + r^2(\frac{d \theta}{d\tau})^2 + sin^2\theta (\frac{d \phi}{d\tau})^2)}$$

Uit
$$\frac{\partial L}{\partial \phi}=0$$
,volgt dan op basis van Euler Lagrange dat
$$p_\phi= \frac{\partial L}{\partial \frac{d \phi}{d\tau}}=constant$$

Dat komt neer op de stelling van Noether. Die impulsen die ik aldus kan bekomen voor de tijd en voor de hoek \(\phi\) zijn constant.

Die L is invariant. Ik leid partieel af naar de variabele \(\frac{d \phi}{d\tau}\), dus die \( p_\phi\) gedraagt zich covariant, dus de indices staan beneden.

Het blijft heel moeilijk om echt goed te vatten dat het de p met de indices beneden is die constant blijft.

[flappelap]

In het deeltje 'Trajcories in the Schwarzschild metric' stelt Schutz dat als de metriek tijdsonafhankelijk is, \(p_0\) een constante is (E). Analoog geldt dat als de metriek onafhankelijk is van \(\phi\), dat dan \(p_{\phi}\) constant is (L).

Later berekend hij dan

$$p^0 = g^{00}p_0=(1-2M/r)^{-1}E$$
$$p^{\phi}= g^{\phi\phi}p_{\phi} = L/r^2$$

Vraag is nu: hoe kan ik inzien dat het precies de p's met subindex zijn die constant zijn en niet met superindex.

De Euler-Lagrange vergelijkingen vertellen ons dat

$$\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}= \frac{dp_{\mu}}{d\tau} $$

De impuls hier is covariant (subindex), want de linkerkant is dat immers ook; je differentieert t.o.v. \(x^{\mu}\). De impuls is op de gebruikelijke manier gedefinieerd:

$$p_{\mu} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}$$

Als L dan niet van \(x^{\mu}\) hangt, is de bijbehorende impuls \(p_{\mu}\) automatisch behouden. De coordinaten komen natuurlijkerwijs met een bovenindex, en de impulsen met een beneden-index. Dat \(p^{\mu}\) niet automatisch behouden is wanneer \(p_{\mu}\) dat wel is kun je rechtstreeks uit de kettingregel halen:

$$\frac{d p^{\mu}}{d\tau} = \frac{d}{d\tau} (g^{\mu\nu}p_{\nu}) = \frac{d}{d\tau} (g^{\mu\nu})p_{\nu} = \dot{x}^{\rho}(\partial_{\rho} g^{\mu\nu})p_{\nu}$$

Het is dus niet moeilijk om in te zien want het volgt rechtstreeks uit de algemene definitie van de EL vergelijkingen, maar als je expliciete coordinaten gaat invullen, dan wordt het inderdaad lastiger.

[wnvl1]

Zo is het duidelijk. Het was initieel wat tegen de intuitie, vertrekkend vanuit p=m*U. U is contravariant en dan zou je p ook contravariant verwachten.

[flappelap]

Zo is het duidelijk. Het was initieel wat tegen de intuitie, vertrekkend vanuit p=m*U. U is contravariant en dan zou je p ook contravariant verwachten.

Ja, alleen is dat niet de definitie van impuls: die volgt uiteindelijk uit de Lagrangiaan.