wig

[ukster]

Een blok met massa m wordt geplaatst op een wig met massa M en hellingshoek α.
Bepaal de horizontale kracht F die op de wig moet worden uitgeoefend zodat m in twee keer zoveel tijd van de bovenkant naar de onderkant van de wig glijdt. De wrijving tussen de wig en de horizontaal is verwaarloosbaar.
Wel is er wrijving tussen de wig en massa m. Initieel zijn beide massa’s in rust.
(M =1kg, m=1kg, α=30°, µ=0,2, g=9,81m/s²)

[wnvl1]

Voor de versnelling van het blok geldt

$$\vec{a_{blok}} = \vec{a_{rel}} + \vec{a_{wig}}$$

Voor de wig geldt

$$M\vec{a_{wig}} = \vec{N_{grond}} + \vec{N_{blok}} + \vec{F_{w}} + \vec{F_{zwig}}+ \vec{F}$$

Voor het blok geldt

$$m\vec{a_{blok}} = -\vec{N_{blok}} - \vec{F_{w}} + \vec{F_{zblok}}$$

Projecteren op x en y as.

$$a_{blokx} \vec{e_{x}} + a_{bloky} \vec{e_{y}}= a_{rel}cos30 \vec{e_{x}} - a_{rel}sin30 \vec{e_{y}} + a_{wig}\vec{e_{x}} $$


$$Ma_{wig}\vec{e_{x}} = N_{grond}\vec{e_{y}} - N_{blok}sin30 \vec{e_{x}} - N_{blok}cos30 \vec{e_{y}} + \mu N_{blok}cos30 \vec{e_{x}} - \mu N_{blok}sin30 \vec{e_{y}} -Mg\vec{e_{y}}+ F\vec{e_{x}}$$



$$ma_{blokx} \vec{e_{x}} + ma_{bloky} \vec{e_{y}} = + N_{blok}sin30 \vec{e_{x}} + N_{blok}cos30 \vec{e_{y}}
- \mu N_{blok}cos30 \vec{e_{x}} + \mu N_{blok}sin30 \vec{e_{y}} - mg\vec{e_{y}}$$

Dat geeft 6 vergelijingen met 6 onbekenden: \(a_{blokx}, a_{bloky}, a_{rel}, a_{wig}, N_{blok}, N_{grond}\).

Door dat op te lossen heb je een verband tussen de versnelling en F. Dan is het zo goed als opgelost. Er is immers een lineair verband tussen\( 1/ \sqrt a_{bloky}\) en de tijd.

[ukster]

F ≈ 5,6717N ?

[wnvl1]

Heb je tussenresultaten voor bvb de versnelling met F = 0?

[ukster]

F=0 N
verticale versnelling m =4* 0,401m/s²=1,604m/s²
horizontale versnelling m =0,69455 m/s²
F=5,671N
verticale versnelling m = 0,401m/s²
horizontale versnelling m=3,1830m/s²
horizontale versnelling M=2,4889 m/s²
relatieve versnelling 0,6941m/s²
normaalkracht op helling N=9,74N

[ukster]

Uiteindelijk vond ik deze uitdrukking voor F:

F.png (4.63 KiB) 2275 keer bekeken

[wnvl1]

Ik heb even mijn vergelijkingen na substitutie

\(a=a_{blokx}\)
\(b=a_{bloky}\)
\(c=a_{rel}\)
\(d=a_{wig}\)
\(e=N_{blok}\)
\(f=N_{grond}\)

in wolfram gestopt.

Dus

a=c*cos30+d
b=-c*sin30
d=-e*sin30+0.2*e*cos30
0=f-e*cos30-0.2*e*sin30-9.81
a=e*sin30-0.2*e*cos30
b=e*cos30+0.2*e*sin30-9.81

https://www.wolframalpha.com/input?i=a% ... sin30-9.81

Maar dat levert foutieve oplossingen op. Ook niet verwonderlijk veel tussenstappen waar ik vermoedelijk wel ergens fouten heb gemaakt. Waarschijnlijk is het beter om een andere aanpak te gebruiken die minder foutgevoelig is. Ik zal later nog eens nakijken.

[wnvl1]

Ik kom dus uit op

$$a_{blokx}≈2.38642, a_{bloky}≈-2.7556$$

als absolute versnelling voor het blok bij F=0. Helaas, geen fout gevonden in mijn berekening.

[wnvl1]

F=0 N
verticale versnelling m =4* 0,401m/s²=1,604m/s²
horizontale versnelling m =0,69455 m/s²

Dit is wel de relatieve versnelling veronderstel ik, aangezien de Atan aantoont dat de hoek 30 graden is.

[ukster]

F=0 N
verticale versnelling m =4* 0,401 m/s²=1,604m/s²
horizontale versnelling m =0,69455 m/s²

moet zijn: horizontale versnelling van m: 1,604 /tan30 = 2,778 m/s²

[wnvl1]

Ik heb de formules even wat ordelijker in Python gestoken.

Code: Selecteer alles

from sympy import *

ablokx,abloky,arel,awig,Nblok,Ngrond = symbols('ablokx abloky arel awig Nblok Ngrond')

print(solve([-ablokx+arel*cos(rad(30))+awig,
             -abloky-arel*sin(rad(30)),
             -awig-Nblok*sin(rad(30))+0.2*Nblok*cos(rad(30)),
             0+Ngrond-Nblok*cos(rad(30))-0.2*Nblok*sin(rad(30))-9.81,
             -ablokx+Nblok*sin(rad(30))-0.2*Nblok*cos(rad(30)),
             -abloky+Nblok*cos(rad(30))+0.2*Nblok*sin(rad(30))-9.81], 
            [ablokx,abloky,arel,awig,Nblok,Ngrond], dict=True))

Maar dezelfde uitkomst als daarvoor voor F=0.

[{Nblok: 7.30249936585639, Ngrond: 16.8643998985370, ablokx: 2.38641969053792, abloky: -2.75560010146298, arel: 5.51120020292596, awig: -2.38641969053792}]

[wnvl1]

Extra controles op mijn vergelijking zijn het volgende:
ablokx = -awig
Dat is consistent met behoud van impuls in de x-richting

Ngrond - 2*9.81 = abloky
16.8643998985370 -2*9.81 = -2.75560010146298
Dat is consistent met som van krachten in y richting = som van m*a in y richting

Ik heb die controles pas achteraf gedaan, niet als basis voor mijn oplossing, dus dat zou kunnen suggereren dat mijn oplossing juist zou kunnen zijn.

Kan je die controles misschien ook toepassen op jouw oplossing?

[Xilvo]

wig.png (4.66 KiB) 1990 keer bekeken

Beide massa's zijn 1 kg, die laat ik weg.
Stel, de wig versnelt met versnelling a naar rechts. Natuurlijk kan a ook negatief zijn.

Ik bekijk de situatie nu alsof de wig in rust is en de versnelling ervan een bijdrage levert aan de zwaartekracht.
Het blok ondervindt een effectieve zwaartekracht \(gf=\sqrt{g^2+a^2}\)
De hoek tussen \(\vec g\) en \(\vec{gf}\) is \(\arctan{\frac{a}{g}}\).
De hoek tussen \(\vec{gf}\) met de normaal op het schuine vlak is \(60+\arctan{\frac{a}{g}}\)
Daarmee is de wrijvingskracht te bepalen: \(F_w=\mu\cdot gf \cdot \sin (60+\arctan{\frac{a}{g}})\)
De tangentiële kracht op het blok is \(F_t=gf \cdot \cos(60+\arctan{\frac{a}{g}})-F_w\)
De horizontale versnelling van het blok (nog steeds relatief t.o.v. de wig!) is dan \(F_t \cdot \cos(30)\) (m=1 dus kracht=versnelling)
De 'absolute' versnelling van het blok in de x-richting is dan \(F_t \cdot \cos(30)+a\)
Als de externe kracht nul is, moet wegens behoud van impuls \(F_t \cdot \cos(30)+a=-a\)

Simpel uitproberen levert dan a=-2.3864, in overeenstemming met wat wnvl1 vond.

[ukster]

de eerder genoemde antwoorden zij gebaseerd op deze 5 vergelijkingen

1.png (9.33 KiB) 1976 keer bekeken

2.png (8.26 KiB) 1976 keer bekeken

[wnvl1]

Moet (3.) niet zijn: \(F+\mu N\cos\alpha - N\sin\alpha = ma_x\)?