Van formule (2) naar c(r)

[Professor Puntje]

Dit topic vormt een vervolg op het topic: viewtopic.php?f=66&t=210971

En het is net als het bovenvermelde topic afgesplitst van het topic: viewtopic.php?f=66&t=206237

De bedoeling is om hier te bewijzen dat de formule voor c(r) uit formule (2) volgt. Waarbij:

2.png (6.13 KiB) 2152 keer bekeken

Bron: https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm

[Professor Puntje]

De lichtstraal beweegt zich in het xy-vlak dus z = dz = 0. Omdat het licht betreft hebben we ook dτ = 0. Tenslotte is voor een geringe lichtbuiging (dy)² verwaarloosbaar ten opzichte van (dx)² en is ydy verwaarloosbaar ten opzichte van xdx. Formule (2) vereenvoudigt dan tot:

\(\)

\( 0 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 - (\mathrm{d}x)^2 - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } (x \mathrm{d}x )^2 \)

[Professor Puntje]

\( 0 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 - (\mathrm{d}x)^2 - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } (x \mathrm{d}x )^2 \)

\(\)

\( (\mathrm{d}x)^2 + \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } (x \mathrm{d}x )^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)

\(\)

\( (1 + \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } x^2 ) (\mathrm{d}x)^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)

\(\)

\( (1 + \frac{x^2}{r^2} \frac{\frac{2 \mathrm{m}}{r}}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} ) (\mathrm{d}x)^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)

\(\)

\( \left (1 + \frac{2 \mathrm{m}}{r} \frac{x^2}{r^2} \frac{1}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \right ) (\mathrm{d}x)^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{ 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} }{ 1 + \frac{2 \mathrm{m}}{r} \frac{x^2}{r^2} \left ( \frac{1}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \right ) } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \sqrt{\frac{ 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} }{ 1 + \frac{2 \mathrm{m}}{r} \frac{x^2}{r^2} \left ( \frac{1}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \right ) } } \)

(Waarbij we er vanuit gaan dat het licht in de richting van de positieve x-as beweegt.)

[HansH]

Mooi overzichtelijk afgeleid. Dit geeft ook mooi de maner van denken weer bij het oplossen. voor licht is dus (dtau)^2 =0

[Professor Puntje]

Eigenlijk geldt voor licht (ds)² = 0, maar omdat voor (ds)² > 0 geldt dat ds = cdτ ligt het voor de hand om voor licht dτ=0 te schrijven.