Maximum probleem in driehoek

[Rik Speybrouck]

In een driehoek ABC is de zijde AB = 11 en zijde AC = 14 en zijn dus een vast gegeven. De hoeken zijn variabele gegevens evenals de basiszijde BC. Het is dus in feite een driehoek die zich ontwikkeld door tophoek A te vergroten of verkleinen en zo de andere hoeken en de basiszijde mee te laten evolueren. In de tekening is ergens een tussenstand weergegeven. Op de zijden AB en AC zetten we twee vierkanten. De middelpunten van de vierkanten worden verbonden met het middelpunt van de driehoek en met de tophoek A om zo de paarse zone te krijgen.
De uitdaging is 1) hoe groot is de zijde BC geworden wanneer de oppervlakte van de paarse zone haar maximum bereikt.
2) wat is deze oppervlakte

[RedCat]

Punt A: uit de cirkelvergelijkingen
xa² + ya² = c²
en
(xa - a)² + ya² = b²
(met gegeven constanten b=14 en c=11) volgt:
xa = (a² + c² - b²) / (2a)
ya = sqrt(c²-xa²) = sqrt(-a⁴+2(c²+b²)a²-(c²-b²)²) / (2a)

punten G, K en L: via vector constructies:
G = ( (a+xa)/3, ya/3 )
K = ( (xa-ya)/2, (xa+ya)/2 )
L = ( (xa+ya+a)/2, (-xa+ya+a)/2 )

Oppervlak driehoeken AKG en AGL via determinanten:
Opp(AKG) = [a(ya-xa)+2c²] / 12
Opp(AGL) = [a(ya+xa)+2b²] / 12
waarbij xa en ya als hierboven in a gedefinieerd.

Tenslotte via de afgeleide naar a van het totale oppervlak AKGL:

\(\text{a}_{max} = \sqrt{b^2+c^2-bc\sqrt{2}} = \sqrt{317-154\sqrt{2}} \approx 9.9604774682\)

met maximaal oppervlak

\(\text{Opp}_{max} = (b^2 + c^2 + 2bc\sqrt{2})/12 = (317 + 308\sqrt{2})/12 \approx 62.7148147675761\)

Leuk probleem, met onderweg veel termen die tegen elkaar wegvallen.
PS: ik hoop dat ik nergens een misstap heb gemaakt.

[Rik Speybrouck]

Punt A: uit de cirkelvergelijkingen
xa² + ya² = c²
en
(xa - a)² + ya² = b²
(met gegeven constanten b=14 en c=11) volgt:
xa = (a² + c² - b²) / (2a)
ya = sqrt(c²-xa²) = sqrt(-a⁴+2(c²+b²)a²-(c²-b²)²) / (2a)

punten G, K en L: via vector constructies:
G = ( (a+xa)/3, ya/3 )
K = ( (xa-ya)/2, (xa+ya)/2 )
L = ( (xa+ya+a)/2, (-xa+ya+a)/2 )

Oppervlak driehoeken AKG en AGL via determinanten:
Opp(AKG) = [a(ya-xa)+2c²] / 12
Opp(AGL) = [a(ya+xa)+2b²] / 12
waarbij xa en ya als hierboven in a gedefinieerd.

Tenslotte via de afgeleide naar a van het totale oppervlak AKGL:

\(\text{a}_{max} = \sqrt{b^2+c^2-bc\sqrt{2}} = \sqrt{317-154\sqrt{2}} \approx 9.9604774682\)

met maximaal oppervlak

\(\text{Opp}_{max} = (b^2 + c^2 + 2bc\sqrt{2})/12 = (317 + 308\sqrt{2})/12 \approx 62.7148147675761\)

Leuk probleem, met onderweg veel termen die tegen elkaar wegvallen.
PS: ik hoop dat ik nergens een misstap heb gemaakt.

ik kom tot dezelfde waarden hoor maar via een uitwerking met driehoeksmeetkunde die toewerkt naar de ideale tophoek zijnde 45 graden. Ik moet alles nog een beetje proper op papier zetten en dan zet ik het online.

[ukster]

ik heb geprobeerd dit vraagstuk op te lossen!

Naast de gegeven lengtes 11 en 14, tophoek α gebruik ik een hulphoek β
de lengte BC stel ik op x.
1.Hiermee de Polygon coordinaten bepaald (A,K,G,L)
2. Polygonoppervlakte bepaald met matrixes en determinanten
3. dA/dx nul gesteld.
4. Hiermee x berekend (x=8,6)
Dit geeft een(maximale) oppervlakte van 64,226
bij een tophoek α=37,9°
Gezien de uitkomst van RedCat en de stelligheid waarmee Rik beweert dat de (optimale) tophoek 45°is zal ik in dit proces wel ergens een fout hebben gemaakt vermoed ik.

[Rik Speybrouck]

hierbij een uitwerking met driehoeksmeetkunde en op het einde een differentiaal

[ukster]

Fout gevonden..! de opppervlakte is altijd positief, abs toegevoegd!

oppervlakte polygon.png (2.68 KiB) 2611 keer bekeken

[ukster]

tophoek α!
0 < α < 38,1° lijkt een praktisch lineaire toename van de oppervlakte
38,1° < α < 180° curved verloop!
attachment=0]max area.png[/attachment]