Laat ik de geïnteresseerde lezers wat helpen door kort uit te leggen waar het om gaat. Volgens de gangbare definities kan je bewijzen dat: 1 = 0,999... . Bij veel scholieren gaat dit er echter niet in omdat zij menen dat 0,999... weliswaar 1 benadert, maar er nooit gelijk aan wordt. Is het nu mogelijk een getallen-systeem op te zetten waarin 0,999... inderdaad
ietsjes kleiner dan 1 is?
Om dit klaar te spelen zullen we decimale uitdrukkingen interpreteren als aanduiding van corresponderende oneindige rijen getallen. Een voorbeeld volstaat om het idee aan te geven:
«+3874,7667485709992...» = (3874 ; 3874,7 ; 3874,76 ; 3874,766 ; 3874,7667 ; 3874,76674 ; ... )
De Franse aanhalingstekens gebruiken we om het verschil met de gewone decimale getallen te benadrukken. We noemen onze decimale getallen
parareële getallen.
Dergelijke oneindige rijtjes van reële getallen kan je componentsgewijze bij elkaar optellen, met elkaar vermenigvuldigen, etc. Bijvoorbeeld:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... ) + (1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, ... ) = (2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, ... )
(3, 7, 0, 2, 5, 3, 9, 8, ... ) . (0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, ... ) = (0, 0, 0, 2, 0, 0, 18, 0, ... )
Veel bekende regels van de gewone rekenkunde blijken ook voor zulke rijtje op te gaan, zij vormen - wat men in de algebra noemt - een 'commutatieve ring'. Binnen onze theorie noemen we zulke rijtjes
omega-getallen.
Nu geldt: «+1,000...» - «+0,999...» = (1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... ) . We vinden dus inderdaad een rij waarvan de termen (voor omega-getallen
componenten genoemd) steeds kleiner maar nooit nul worden. Het verschil «+1,000...» - «+0,999...» is een als oneindig klein te beschouwen omega-getal maar geen parareëel getal.
Is er een manier om ook omega-getallen in decimale vorm te schijven? Die is er inderdaad: we schijven de componenten in hun decimale vorm gewoon onder elkaar. Nog even nullen op de lege posities toevoegen, en we hebben een twee dimensionale decimale schrijfwijze voor omega getallen. Omdat we deze voorstelling als het ware naar beneden uitrollen noemen dit het
gordijn van het betreffende omega-getal. Voor «+1,000...» - «+0,999...» komt er:
+...000000000000000000000000000000000001,000000000000000000000000000000000000...
+...000000000000000000000000000000000000,100000000000000000000000000000000000...
+...000000000000000000000000000000000000,010000000000000000000000000000000000...
+...000000000000000000000000000000000000,001000000000000000000000000000000000...
.
.
.
Voor
komt er:
+...000000000000000000000000000000000003,000000000000000000000000000000000000...
+...000000000000000000000000000000000003,100000000000000000000000000000000000...
+...000000000000000000000000000000000003,140000000000000000000000000000000000...
+...000000000000000000000000000000000003,141000000000000000000000000000000000...
.
.
.
Nu kunnen we zulke schema's ook verticaal lezen. In het gordijn van parareële getallen treffen we voor iedere positie als we ver genoeg naar beneden zakken uiteindelijk het oorspronkelijke cijfer van het parareële getal aan. Zo vinden we dus de cijfers van het oorspronkelijke getal terug.
Maar voor «+1,000...» - «+0,999...» vinden we zo voor iedere positie uiteindelijk nul. Alleen als we schuin naar beneden gaan vinden we op één zo'n lijn steeds '1'. De grap is nu dat ook de schuin onder elkaar staande plaatsen waar de '1' staat in uitgebreide zin als een positie te beschouwen zijn. De omega-getallen bieden daar de mogelijkheid voor. Normale posities zoals de 0de positie, de 4de positie en de -5de positie corresponderen respectievelijk met de omega-getallen (0, 0, 0, 0, ... ) , (4, 4, 4, 4, ... ) en (-5, -5 , -5, -5, ... ). De positie van de '1' in het gordijn van «+1,000...» - «+0,999...» laat zich aanduiden met het omega-getal (0, -1, -2, -3, ... ). Schrijven we het als oneindig groot te beschouwen omega-getal (0, 1, 2, 3, ... ) als 'Ω', dan is (0, -1, -2, -3, ... ) gelijk aan '-Ω'.
Voor «+1,000...» - «+0,999...» vinden we zo:
0,000...0...;...0...0001000...0... (met de 1 op positie -Ω) .
En bijvoorbeeld voor «+4,999...9...».«+0,333...3...» dit:
1,666...6...;...6...6664666...6...;...6...6667000...0... (met de 4 op positie -Ω en de 7 op positie -2Ω) .
Dat is zo ongeveer hoever ik met zulke getallen gekomen ben. Detlef Spalt schetst in zijn boek
Vom Mythos der mathematischen Vernunft iets dergelijks. Problemen ontstaan wanneer je zou willen bepalen wat er nu op de positie -Ω van
moet staan. Omdat
irrationaal is, kan er voor de positie -Ω immers geen uiteindelijk cijfer uit rollen.
